Номер 4, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Напишите формулу корней уравнения $ \sin x = b $ при $ |b| \le 1 $.

4. Требуется найти общую формулу для корней тригонометрического уравнения $\sin x = b$. Условие $|b| \le 1$ (что эквивалентно $-1 \le b \le 1$) является необходимым и достаточным для существования действительных решений, поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$.

Для решения этого уравнения вводится понятие арксинуса. Арксинус числа $b$, который обозначается как $\arcsin b$, — это угол $\alpha$, принадлежащий отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $b$. Таким образом, $\arcsin b$ является одним из решений (главным значением) уравнения $\sin x = b$.

Поскольку функция $\sin x$ является периодической с периодом $2\pi$, то если $x_0$ является решением, то и все числа вида $x_0 + 2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) также будут решениями. Используя $\arcsin b$ как одно из решений, мы получаем первую серию корней:
$x = \arcsin b + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ следует, что если $\alpha = \arcsin b$ — решение, то $\pi - \alpha = \pi - \arcsin b$ также является решением. Снова учитывая периодичность, мы получаем вторую серию корней:
$x = \pi - \arcsin b + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну общую, более компактную формулу. Давайте проанализируем структуру обеих серий:
1) $x = 2k\pi + \arcsin b$
2) $x = (2n+1)\pi - \arcsin b$
Можно заметить, что когда $\pi$ умножается на четное число ($2k$), слагаемое $\arcsin b$ берется со знаком «плюс». Когда $\pi$ умножается на нечетное число ($2n+1$), слагаемое $\arcsin b$ берется со знаком «минус». Такое чередование знаков можно элегантно записать с помощью множителя $(-1)^n$.

Общая формула, объединяющая все корни, имеет вид: $x = n\pi + (-1)^n \arcsin b$, где $n \in \mathbb{Z}$ ( $n$ — любое целое число).
- Если $n$ — четное число (например, $n=2k$), то формула преобразуется в $x = 2k\pi + (-1)^{2k} \arcsin b = 2k\pi + \arcsin b$, что соответствует первой серии корней.
- Если $n$ — нечетное число (например, $n=2k+1$), то формула преобразуется в $x = (2k+1)\pi + (-1)^{2k+1} \arcsin b = (2k+1)\pi - \arcsin b$, что соответствует второй серии корней.

Ответ: $x = n\pi + (-1)^n \arcsin b$, где $n \in \mathbb{Z}$.