Номер 4, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Напишите формулу корней уравнения $ \sin x = b $ при $ |b| \le 1 $.

4. Требуется найти общую формулу для корней тригонометрического уравнения `$\sin x = b$`. Условие `$|b| \le 1$` (что эквивалентно `$-1 \le b \le 1$`) является необходимым и достаточным для существования действительных решений, поскольку область значений функции синус — это отрезок `[-1, 1]`.

Для решения этого уравнения вводится понятие арксинуса. Арксинус числа `$b$`, который обозначается как `$\arcsin b$`, — это угол `$\alpha$`, принадлежащий отрезку `$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$`, синус которого равен `$b$`. Таким образом, `$\arcsin b$` является одним из решений (главным значением) уравнения `$\sin x = b$`.

Поскольку функция `$\sin x$` является периодической с периодом `$2\pi$`, то если `$x_0$` является решением, то и все числа вида `$x_0 + 2\pi k$` (где `$k$` — любое целое число) также будут решениями. Используя `$\arcsin b$` как одно из решений, мы получаем первую серию корней:
`$x = \arcsin b + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$`.

Из основного тригонометрического тождества `$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$` следует, что если `$\alpha = \arcsin b$` — решение, то `$\pi - \alpha = \pi - \arcsin b$` также является решением. Снова учитывая периодичность, мы получаем вторую серию корней:
`$x = \pi - \arcsin b + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$`.

Эти две серии решений можно объединить в одну общую, более компактную формулу. Давайте проанализируем структуру обеих серий:
1) `$x = 2k\pi + \arcsin b$`
2) `$x = (2n+1)\pi - \arcsin b$`
Можно заметить, что когда `$\pi$` умножается на четное число (`$2k$`), слагаемое `$\arcsin b$` берется со знаком «плюс». Когда `$\pi$` умножается на нечетное число (`$2n+1$`), слагаемое `$\arcsin b$` берется со знаком «минус». Такое чередование знаков можно элегантно записать с помощью множителя `_(-1)^n_`.

Общая формула, объединяющая все корни, имеет вид: `$x = n\pi + (-1)^n \arcsin b$`, где `$n \in \mathbb{Z}$` ( `$n$` — любое целое число).
- Если `$n$` — четное число (например, `$n=2k$`), то формула преобразуется в `$x = 2k\pi + (-1)^{2k} \arcsin b = 2k\pi + \arcsin b$`, что соответствует первой серии корней.
- Если `$n$` — нечетное число (например, `$n=2k+1$`), то формула преобразуется в `$x = (2k+1)\pi + (-1)^{2k+1} \arcsin b = (2k+1)\pi - \arcsin b$`, что соответствует второй серии корней.

Ответ: `$x = n\pi + (-1)^n \arcsin b$`, где `$n \in \mathbb{Z}$`.