Номер 26.11, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.11. При каких значениях $a$ уравнение $\cos 2x = -4a^2 + 4a - 2$ имеет решения?

Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда значение его правой части принадлежит области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.

Таким образом, должно выполняться двойное неравенство:

$$ -1 \le -4a^2 + 4a - 2 \le 1 $$

Рассмотрим правую часть исходного уравнения как квадратичную функцию от параметра $a$: $f(a) = -4a^2 + 4a - 2$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($-4 < 0$). Следовательно, функция имеет максимальное значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы. Обозначим ее $a_v$:

$$ a_v = -\frac{4}{2 \cdot (-4)} = -\frac{4}{-8} = \frac{1}{2} $$

Найдем максимальное значение функции, подставив $a_v = \frac{1}{2}$ в выражение для $f(a)$:

$$ f_{\text{max}} = f\left(\frac{1}{2}\right) = -4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = -4 \cdot \frac{1}{4} + 2 - 2 = -1 $$

Таким образом, максимальное значение правой части уравнения равно $-1$, и оно достигается только при $a = \frac{1}{2}$. Для всех остальных значений $a$ значение выражения $-4a^2 + 4a - 2$ будет строго меньше $-1$.

Вернемся к нашему двойному неравенству:

$$ -1 \le -4a^2 + 4a - 2 \le 1 $$

Так как мы установили, что $f(a) = -4a^2 + 4a - 2 \le -1$ для любого $a$, то для выполнения двойного неравенства необходимо, чтобы значение $f(a)$ было равно $-1$. Любое значение $f(a) < -1$ не удовлетворяет левой части неравенства ($-1 \le f(a)$), а значений $f(a) > -1$ функция не принимает.

Следовательно, уравнение имеет решения только в том случае, когда правая часть равна своему максимальному значению, то есть $-1$.

$$ -4a^2 + 4a - 2 = -1 $$

Как мы уже выяснили, это равенство выполняется только при:

$$ a = \frac{1}{2} $$

При этом значении $a$ исходное уравнение принимает вид $\cos(2x) = -1$, которое имеет решения (например, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.