gdz.top
Номер 26.12, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 26. Уравнение соs х = b. Упражнения - номер 26.12, страница 195.
№26.11
№26.12 (с. 195)
Условие. №26.12 (с. 195)
26.12. При каких значениях $a$ уравнение $\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-a^{2}-1$ имеет решения?
Решение 1. №26.12 (с. 195)
Решение 2. №26.12 (с. 195)
Решение 3. №26.12 (с. 195)
Решение 4. №26.12 (с. 195)
Решение 5. №26.12 (с. 195)
Данное уравнение $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -a^2 - 1$ имеет решения тогда и только тогда, когда значение его правой части принадлежит области значений функции косинус.
Область значений функции $y = \cos(\alpha)$ для любого аргумента $\alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело решения, должно выполняться неравенство: $$-1 \le -a^2 - 1 \le 1$$
Решим это двойное неравенство. Для этого прибавим 1 ко всем его частям: $$-1 + 1 \le -a^2 - 1 + 1 \le 1 + 1$$ $$0 \le -a^2 \le 2$$
Полученное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:
1) $-a^2 \ge 0$
2) $-a^2 \le 2$
Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
Решим первое неравенство: $-a^2 \ge 0$.
Умножим обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $$a^2 \le 0$$ Поскольку квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен (то есть $a^2 \ge 0$), единственным решением неравенства $a^2 \le 0$ является случай, когда $a^2 = 0$. Отсюда следует, что $a=0$.
Теперь решим второе неравенство: $-a^2 \le 2$.
Умножим обе части на -1, также изменив знак неравенства на противоположный: $$a^2 \ge -2$$ Это неравенство справедливо для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен, а значит, всегда больше или равен -2.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Из первого неравенства мы получили, что $a=0$. Второе неравенство выполняется для всех действительных $a$. Следовательно, единственное значение $a$, удовлетворяющее всей системе, — это $a=0$.
Таким образом, исходное уравнение имеет решения только при $a=0$.
Ответ: $a=0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 26.12 расположенного на странице 195 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №26.12 (с. 195), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.