Номер 26.14, страница 196 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.14. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{3x^2 - 5x + 2}}$;

2) $y = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x + 2}$;

3) $y = \sqrt{4 - 2\sqrt{x}}$.

1) Область определения функции $y = \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{3x^2 - 5x + 2}}$ находится из системы неравенств, учитывающей условия существования корней и дроби.

Во-первых, выражение под корнем четвертой степени в числителе должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$.

Во-вторых, выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень должен существовать и знаменатель не может быть равен нулю):
$3x^2 - 5x + 2 > 0$.

Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как ветви параболы $y=3x^2 - 5x + 2$ направлены вверх ($a=3>0$), неравенство $3x^2 - 5x + 2 > 0$ выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями. То есть, $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

Теперь объединим оба условия в систему:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является объединение интервалов $[0; \frac{2}{3})$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [0; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x + 2}$ определяется следующими условиями.

Выражение под квадратным корнем в числителе должно быть неотрицательным:
$9 - x^2 \ge 0$.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x + 2 \neq 0$.

Решим первое неравенство:
$9 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 9$
$|x| \le 3$
$-3 \le x \le 3$, то есть $x \in [-3; 3]$.

Решим второе условие:
$x + 2 \neq 0$
$x \neq -2$.

Найдем пересечение полученных множеств: из отрезка $[-3; 3]$ нужно исключить точку $-2$.

Ответ: $D(y) = [-3; -2) \cup (-2; 3]$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{4 - 2\sqrt{x}}$ находится из системы неравенств, учитывающей существование обоих корней.

Во-первых, выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$.

Во-вторых, выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным:
$4 - 2\sqrt{x} \ge 0$.

Решим второе неравенство:
$4 \ge 2\sqrt{x}$
$2 \ge \sqrt{x}$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:
$4 \ge x$, или $x \le 4$.

Теперь объединим все условия в систему:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 4 \end{cases}$

Решением системы является отрезок $[0; 4]$.

Ответ: $D(y) = [0; 4]$.