Номер 2, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Сколько корней имеет уравнение $ \sin x = b $ при $ |b| \le 1 $?

1.

Уравнение $\sin x = b$ имеет корни тогда и только тогда, когда значение $b$ принадлежит области значений функции $y = \sin x$.

Функция синуса определена для всех действительных чисел $x$, а ее область значений представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $x$ значение его синуса не может быть меньше -1 и не может быть больше 1.

Следовательно, чтобы уравнение $\sin x = b$ имело хотя бы один действительный корень, правая часть уравнения, $b$, должна принимать значения из этого отрезка.

Это условие математически записывается в виде двойного неравенства: $$-1 \le b \le 1$$ Или, с использованием модуля: $$|b| \le 1$$ Если же $|b| > 1$ (то есть $b > 1$ или $b < -1$), то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение имеет корни при $b \in [-1, 1]$, или $|b| \le 1$.

2.

Чтобы определить количество корней уравнения $\sin x = b$ при условии $|b| \le 1$, необходимо учесть, что функция $y = \sin x$ является периодической с основным периодом $2\pi$. Это свойство означает, что если у уравнения есть хотя бы один корень, то их будет бесконечное множество, так как значения функции повторяются на каждом периоде. Рассмотрим различные случаи для $b$.

Случай 1: $|b| < 1$ (то есть $-1 < b < 1$)
В этом случае на любом отрезке длиной $2\pi$ (например, на $[0, 2\pi)$) горизонтальная прямая $y=b$ пересекает синусоиду в двух различных точках. Эти два решения, назовем их $x_1$ и $x_2$, порождают две бесконечные серии корней на всей числовой прямой:

• $x = \arcsin b + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
• $x = \pi - \arcsin b + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Общая формула для всех корней в этом случае: $x = (-1)^k \arcsin b + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $k$ может принимать любое целое значение, в каждой серии содержится бесконечное число корней. Таким образом, при $|b| < 1$ уравнение имеет бесконечно много корней.

Случай 2: $|b| = 1$ (то есть $b=1$ или $b=-1$)
В этом случае прямая $y=b$ касается вершин синусоиды.

• Если $b=1$, уравнение $\sin x = 1$ имеет на отрезке $[0, 2\pi)$ единственный корень $x = \frac{\pi}{2}$. Все решения на числовой прямой образуют одну бесконечную серию: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$
• Если $b=-1$, уравнение $\sin x = -1$ имеет на отрезке $[0, 2\pi)$ единственный корень $x = \frac{3\pi}{2}$. Все решения образуют одну бесконечную серию: $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

В обоих подслучаях, когда $|b|=1$, уравнение также имеет бесконечно много корней.

Поскольку в вопросе не указан конкретный интервал для $x$, подразумевается нахождение корней на всей числовой прямой. Таким образом, для любого значения $b$, удовлетворяющего условию $|b| \le 1$, уравнение имеет бесконечное число решений.

Ответ: При любом значении $b$, удовлетворяющем условию $|b| \le 1$, уравнение $\sin x = b$ имеет бесконечное множество корней.