Номер 26.13, страница 196 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.13. Упростите выражение:

1) $ \frac{a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}} \div \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}} $

2) $ \frac{a-b}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{a-b}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}})} $

1)

Запишем исходное выражение, заменив деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} $$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки.

Числитель первой дроби: $a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2$.

Знаменатель первой дроби: $a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$.

Числитель второй дроби: $ab^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$.

Знаменатель второй дроби: $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$.

Подставим разложенные выражения и выполним умножение:

$$ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} $$

Объединим дроби и сгруппируем множители для сокращения:

$$ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 \cdot a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \cdot b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} $$

После сокращения всех общих множителей в числителе и знаменателе получаем 1.

Ответ: $1$

2)

Для упрощения громоздкого выражения введем замену переменных. Пусть $x = a^{\frac{1}{4}}$ и $y = b^{\frac{1}{4}}$. Тогда $x^2 = a^{\frac{1}{2}}$, $x^3 = a^{\frac{3}{4}}$, $x^4 = a$, и аналогично $y^2 = b^{\frac{1}{2}}$, $y^4 = b$.

Исходное выражение принимает вид:

$$ \frac{x^4 - y^4}{x^3 + x^2y} \cdot \frac{x^4 - y^4}{(x^2 + y^2)(x^2 - xy)} $$

Упростим каждую дробь по отдельности, раскладывая на множители числители и знаменатели.

Первая дробь:

$$ \frac{x^4 - y^4}{x^3 + x^2y} = \frac{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{x^2(x + y)} = \frac{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)}{x^2(x + y)} = \frac{(x - y)(x^2 + y^2)}{x^2} $$

Вторая дробь:

$$ \frac{x^4 - y^4}{(x^2 + y^2)(x^2 - xy)} = \frac{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)x(x - y)} = \frac{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)}{x(x - y)(x^2 + y^2)} = \frac{x + y}{x} $$

Теперь перемножим упрощенные дроби:

$$ \frac{(x - y)(x^2 + y^2)}{x^2} \cdot \frac{x + y}{x} = \frac{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)}{x^2 \cdot x} = \frac{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{x^3} = \frac{x^4 - y^4}{x^3} $$

Выполним обратную замену, подставив вместо $x$ и $y$ их выражения через $a$ и $b$:

$$ \frac{x^4 - y^4}{x^3} = \frac{a - b}{(a^{\frac{1}{4}})^3} = \frac{a - b}{a^{\frac{3}{4}}} $$

Ответ: $\frac{a - b}{a^{\frac{3}{4}}}$