Номер 26.9, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.9. Сколько корней уравнения $cos3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$?

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = a$ записывается как $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 3x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Отсюда, разделив обе части на 3, находим две серии решений для $x$ :
1. $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$
2. $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Для этого решим двойные неравенства для каждой серии решений, подставляя целочисленные значения $n$.

Для первой серии решений $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$:
Решим неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi$.
Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{18} + \frac{2n}{3} \le 1$.
Умножим на 18, чтобы избавиться от дробей: $-9 \le 1 + 12n \le 18$.
Вычтем 1: $-10 \le 12n \le 17$.
Разделим на 12: $-\frac{10}{12} \le n \le \frac{17}{12}$, то есть $-\frac{5}{6} \le n \le 1\frac{5}{12}$.
Этому условию удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{18}$.
При $n=1$ получаем корень $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18}$.
Оба корня принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Для второй серии решений $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$:
Решим неравенство $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi$.
Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{18} + \frac{2n}{3} \le 1$.
Умножим на 18: $-9 \le -1 + 12n \le 18$.
Прибавим 1: $-8 \le 12n \le 19$.
Разделим на 12: $-\frac{8}{12} \le n \le \frac{19}{12}$, то есть $-\frac{2}{3} \le n \le 1\frac{7}{12}$.
Этому условию удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$ получаем корень $x = -\frac{\pi}{18}$.
При $n=1$ получаем корень $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18}$.
Оба корня также принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Всего мы нашли четыре различных корня, которые принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$: $-\frac{\pi}{18}$, $\frac{\pi}{18}$, $\frac{11\pi}{18}$ и $\frac{13\pi}{18}$.
Таким образом, количество корней равно 4.
Ответ: 4