Номер 26.3, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.3. Решите уравнение:

1) $ \cos 3x = -\frac{1}{2}; $

2) $ \cos \frac{5}{6}x = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \cos 6x = 1; $

4) $ \cos \frac{2\pi x}{3} = 0; $

5) $ \cos 9x = -\frac{1}{5}; $

6) $ \cos \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}. $

1) Дано уравнение $cos(3x) = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 3x$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Найдем значение $arccos(-\frac{1}{2})$. Используя свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$, получаем:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \pm \frac{2\pi}{3 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$.

2) Дано уравнение $cos(\frac{5}{6}x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $t = \frac{5}{6}x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{5}{6}x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{6}{5}$:

$x = \frac{6}{5} \cdot (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \pm \frac{6\pi}{5 \cdot 6} + \frac{6 \cdot 2\pi n}{5} = \pm \frac{\pi}{5} + \frac{12\pi n}{5}, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{5} + \frac{12\pi n}{5}, n \in Z$.

3) Дано уравнение $cos(6x) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $cos(t) = 1$ имеет вид $t = 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 6x$.

$6x = 2\pi n, n \in Z$.

Разделим обе части на 6:

$x = \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

4) Дано уравнение $cos(\frac{2\pi x}{3}) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = \frac{2\pi x}{3}$.

$\frac{2\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{2x}{3} = \frac{1}{2} + n, n \in Z$.

Умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$x = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} + n) = \frac{3}{4} + \frac{3n}{2}, n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{3}{4} + \frac{3n}{2}, n \in Z$.

5) Дано уравнение $cos(9x) = -\frac{1}{5}$.

Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $t = 9x$ и $a = -\frac{1}{5}$.

Так как $-\frac{1}{5}$ не является табличным значением, оставляем арккосинус в явном виде.

$9x = \pm arccos(-\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in Z$.

Разделим обе части на 9:

$x = \pm \frac{arccos(-\frac{1}{5})}{9} + \frac{2\pi n}{9}, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{9}arccos(-\frac{1}{5}) + \frac{2\pi n}{9}, n \in Z$.

6) Дано уравнение $cos(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используем свойство четности косинуса: $cos(-a) = cos(a)$.

Уравнение принимает вид: $cos(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Применяем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $t = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ не является табличным для косинуса, поэтому оставляем арккосинус в явном виде.

$\frac{x}{3} = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\pi n, n \in Z$.

Умножим обе части на 3:

$x = \pm 3 \cdot arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 2\pi n = \pm 3arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 6\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm 3arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 6\pi n, n \in Z$.