Страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.2. Решите уравнение:

1) $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

2) $ \cos x = -\frac{1}{2}; $

3) $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

4) $ \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}; $

5) $ \cos x = \frac{4}{7}. $

1) Решим уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение для уравнения вида $ \cos x = a $, при условии $ |a| \le 1 $, записывается формулой $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это табличное значение для косинуса.

Находим арккосинус: $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \cos x = -\frac{1}{2} $.

Применяем ту же общую формулу $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -\frac{1}{2} $.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $.

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) $.

Поскольку $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, то:

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Подставляем найденное значение в формулу для корней уравнения:

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение имеет вид $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. В этом уравнении $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Находим арккосинус, используя свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $:

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

Из таблицы значений мы знаем, что $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Записываем общее решение:

$ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Область значений функции $ y = \cos x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ выполняется неравенство $ -1 \le \cos x \le 1 $.

Оценим значение правой части уравнения $ \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Поскольку $ 4 < 5 $, то $ \sqrt{4} < \sqrt{5} $, что означает $ 2 < \sqrt{5} $.

Разделив обе части неравенства на 2, получим $ \frac{2}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2} $, то есть $ 1 < \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Так как значение $ \frac{\sqrt{5}}{2} $ больше 1, оно не принадлежит области значений функции косинус.

Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.

5) Решим уравнение $ \cos x = \frac{4}{7} $.

Используем общую формулу для решения $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

В этом случае $ a = \frac{4}{7} $. Так как $ 0 < 4 < 7 $, то $ 0 < \frac{4}{7} < 1 $. Значение $ a $ находится в допустимом диапазоне $ [-1, 1] $, следовательно, уравнение имеет решения.

Число $ \frac{4}{7} $ не является табличным значением для косинуса, поэтому решение выражается через функцию арккосинуса.

Подставляем $ a = \frac{4}{7} $ в общую формулу:

$ x = \pm \arccos\left(\frac{4}{7}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \arccos\left(\frac{4}{7}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

26.3. Решите уравнение:

1) $ \cos 3x = -\frac{1}{2}; $

2) $ \cos \frac{5}{6}x = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \cos 6x = 1; $

4) $ \cos \frac{2\pi x}{3} = 0; $

5) $ \cos 9x = -\frac{1}{5}; $

6) $ \cos \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}. $

1) Дано уравнение $cos(3x) = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 3x$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Найдем значение $arccos(-\frac{1}{2})$. Используя свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$, получаем:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \pm \frac{2\pi}{3 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$.

2) Дано уравнение $cos(\frac{5}{6}x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $t = \frac{5}{6}x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{5}{6}x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{6}{5}$:

$x = \frac{6}{5} \cdot (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \pm \frac{6\pi}{5 \cdot 6} + \frac{6 \cdot 2\pi n}{5} = \pm \frac{\pi}{5} + \frac{12\pi n}{5}, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{5} + \frac{12\pi n}{5}, n \in Z$.

3) Дано уравнение $cos(6x) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $cos(t) = 1$ имеет вид $t = 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 6x$.

$6x = 2\pi n, n \in Z$.

Разделим обе части на 6:

$x = \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

4) Дано уравнение $cos(\frac{2\pi x}{3}) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = \frac{2\pi x}{3}$.

$\frac{2\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{2x}{3} = \frac{1}{2} + n, n \in Z$.

Умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$x = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} + n) = \frac{3}{4} + \frac{3n}{2}, n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{3}{4} + \frac{3n}{2}, n \in Z$.

5) Дано уравнение $cos(9x) = -\frac{1}{5}$.

Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $t = 9x$ и $a = -\frac{1}{5}$.

Так как $-\frac{1}{5}$ не является табличным значением, оставляем арккосинус в явном виде.

$9x = \pm arccos(-\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in Z$.

Разделим обе части на 9:

$x = \pm \frac{arccos(-\frac{1}{5})}{9} + \frac{2\pi n}{9}, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{9}arccos(-\frac{1}{5}) + \frac{2\pi n}{9}, n \in Z$.

6) Дано уравнение $cos(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используем свойство четности косинуса: $cos(-a) = cos(a)$.

Уравнение принимает вид: $cos(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Применяем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $t = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ не является табличным для косинуса, поэтому оставляем арккосинус в явном виде.

$\frac{x}{3} = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\pi n, n \in Z$.

Умножим обе части на 3:

$x = \pm 3 \cdot arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 2\pi n = \pm 3arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 6\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm 3arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 6\pi n, n \in Z$.

26.4. Решите уравнение:

1) $cos 2x = \frac{1}{2}$;

2) $cos \frac{x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $cos \frac{3x}{4} = -1.$

1) Решим уравнение $\cos{2x} = \frac{1}{2}$. Общее решение уравнения вида $\cos t = a$ записывается как $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t=2x$ и $a=\frac{1}{2}$. Значение $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, получаем: $2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2: $x = \frac{\pm\frac{\pi}{3}}{2} + \frac{2\pi n}{2}$. $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos\frac{x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем общую формулу $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Здесь $t = \frac{x}{5}$. Значение $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ находится по формуле $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, поэтому: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Подставляем в формулу: $\frac{x}{5} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, умножим обе части на 5: $x = 5 \left(\pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right)$. $x = \pm\frac{25\pi}{6} + 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm\frac{25\pi}{6} + 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\cos\frac{3x}{4} = -1$. Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение для $\cos t = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = \frac{3x}{4}$. Получаем: $\frac{3x}{4} = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Умножим обе части уравнения на 4: $3x = 4(\pi + 2\pi n) = 4\pi + 8\pi n$. Теперь разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$: $x = \frac{4\pi + 8\pi n}{3} = \frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

26.5. Решите уравнение:

1) $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

3) $\cos\left(\frac{x}{6} - 2\right) = -1;$

4) $2\cos\left(\frac{\pi}{8} - 3x\right) + 1 = 0.$

1) $ \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение вида $ \cos(t) = a $. Общее решение для такого уравнения записывается как $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае аргумент косинуса $ t = x + \frac{\pi}{6} $, а значение $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Находим значение арккосинуса: $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$ x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

Теперь выразим $ x $, перенеся $ \frac{\pi}{6} $ в правую часть:

$ x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

Разобьем решение на два отдельных случая:

1. С плюсом: $ x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n $.

2. С минусом: $ x_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n $, $ x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos(\frac{\pi}{4} - x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Поэтому $ \cos(\frac{\pi}{4} - x) = \cos(-(\frac{\pi}{4} - x)) = \cos(x - \frac{\pi}{4}) $. Уравнение примет вид:

$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Применяем общую формулу для решения $ \cos(t) = a $: $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ t = x - \frac{\pi}{4} $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Находим значение арккосинуса: $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Подставляем в формулу:

$ x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Выражаем $ x $:

$ x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Рассматриваем два случая:

1. С плюсом: $ x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n $.

2. С минусом: $ x_2 = \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi n $.

Ответ: $ x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n $, $ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \cos(\frac{x}{6} - 2) = -1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $ \cos(t) = -1 $ имеет решение $ t = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем уравнении $ t = \frac{x}{6} - 2 $.

Приравниваем аргумент к решению для частного случая:

$ \frac{x}{6} - 2 = \pi + 2\pi n $

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $ x $:

$ \frac{x}{6} = 2 + \pi + 2\pi n $

$ x = 6(2 + \pi + 2\pi n) $

$ x = 12 + 6\pi + 12\pi n $

Ответ: $ x = 12 + 6\pi + 12\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 2\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) + 1 = 0 $

Сначала преобразуем уравнение к виду $ \cos(t) = a $.

$ 2\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = -1 $

$ \cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = -\frac{1}{2} $

Так как косинус — четная функция, $ \cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = \cos(3x - \frac{\pi}{8}) $. Получаем:

$ \cos(3x - \frac{\pi}{8}) = -\frac{1}{2} $

Применим общую формулу решения $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ t = 3x - \frac{\pi}{8} $ и $ a = -\frac{1}{2} $.

Находим арккосинус: $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Подставляем в формулу:

$ 3x - \frac{\pi}{8} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

Выражаем $ 3x $:

$ 3x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

Делим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) $

Рассматриваем два случая:

1. С плюсом: $ x_1 = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{3\pi + 16\pi}{24} + 2\pi n\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{19\pi}{24} + 2\pi n\right) = \frac{19\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} $.

2. С минусом: $ x_2 = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{8} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{3\pi - 16\pi}{24} + 2\pi n\right) = \frac{1}{3} \left(-\frac{13\pi}{24} + 2\pi n\right) = -\frac{13\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{19\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} $, $ x = -\frac{13\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

26.6. Решите уравнение:

1) $\cos \left(\frac{\pi}{9}-4x\right) = 1;$

2) $\sqrt{2} \cos \left(\frac{x}{2}+3\right)+1 = 0.$

1) Решим уравнение $ \cos(\frac{\pi}{9} - 4x) = 1 $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Равенство $ \cos(t) = 1 $ выполняется, когда аргумент косинуса $ t $ равен $ 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Приравняем аргумент нашего косинуса к этому значению:

$ \frac{\pi}{9} - 4x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь выразим $ x $ из этого уравнения. Сначала перенесем $ \frac{\pi}{9} $ в правую часть:

$ -4x = 2\pi k - \frac{\pi}{9} $

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса перед $ x $:

$ 4x = \frac{\pi}{9} - 2\pi k $

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{9} - 2\pi k \right) $

$ x = \frac{\pi}{36} - \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{\pi}{36} - \frac{\pi k}{2} $

Поскольку $ k $ — любое целое число, то $ -k $ также является любым целым числом. Поэтому решение можно записать и как $ x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $, но оставим первоначальный вид.

Ответ: $x = \frac{\pi}{36} - \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2) Решим уравнение $ \sqrt{2}\cos(\frac{x}{2} + 3) + 1 = 0 $.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $ \cos(\frac{x}{2} + 3) $. Перенесем 1 в правую часть:

$ \sqrt{2}\cos(\frac{x}{2} + 3) = -1 $

Теперь разделим обе части на $ \sqrt{2} $:

$ \cos(\frac{x}{2} + 3) = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \cos(\frac{x}{2} + 3) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение уравнения $ \cos(t) = a $ (где $ |a| \le 1 $) имеет вид $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = \frac{x}{2} + 3 $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Найдем $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) $:

$ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

Подставим это значение в общую формулу решения:

$ \frac{x}{2} + 3 = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь выразим $ x $. Сначала вычтем 3 из обеих частей:

$ \frac{x}{2} = -3 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $

Умножим обе части на 2:

$ x = 2 \left( -3 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right) $

$ x = -6 \pm 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot 2\pi k $

$ x = -6 \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k $

Ответ: $x = -6 \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$

26.7. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$$ \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $$

Для решения этого уравнения воспользуемся общей формулой для уравнений вида $ \cos(t) = a $, где $ |a| \le 1 $. Решение имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in Z $).

В нашем случае аргумент косинуса $ t = x - \frac{\pi}{6} $ и значение $ a = \frac{1}{2} $.

Значение арккосинуса от $ \frac{1}{2} $ равно $ \frac{\pi}{3} $, так как $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $.

Подставляем известные значения в общую формулу решения:

$$ x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in Z $$

Это равенство распадается на два независимых случая, которые дают две серии корней.

Рассмотрим первый случай (когда перед арккосинусом стоит знак «+»):

$$ x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $$

Выразим $x$, перенеся $ -\frac{\pi}{6} $ в правую часть уравнения:

$$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$$ x = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$

$$ x_1 = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in Z $$

Рассмотрим второй случай (когда перед арккосинусом стоит знак «-»):

$$ x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $$

Аналогично выразим $x$:

$$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ x = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$

$$ x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in Z $$

Теперь необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого проанализируем обе серии корней, подставляя различные целые значения $k$. Наибольший отрицательный корень — это отрицательное число, наиболее близкое к нулю.

Анализ первой серии корней $ x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $:

Чтобы корень был отрицательным, должно выполняться неравенство $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0 $.

$ 2\pi k < -\frac{\pi}{2} \implies k < -\frac{1}{4} $.

Наибольшее целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $ k = -1 $.

При $ k = -1 $ корень равен: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} $.

Анализ второй серии корней $ x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $:

Чтобы корень был отрицательным, должно выполняться неравенство $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 0 $.

$ 2\pi k < \frac{\pi}{6} \implies k < \frac{1}{12} $.

Наибольшее целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $ k = 0 $.

При $ k = 0 $ корень равен: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(0) = -\frac{\pi}{6} $.

Мы получили два кандидата на наибольший отрицательный корень: $ -\frac{3\pi}{2} $ и $ -\frac{\pi}{6} $.

Сравним эти два значения. Для этого можно привести их к общему знаменателю:

$$ -\frac{3\pi}{2} = -\frac{3 \cdot 3 \pi}{2 \cdot 3} = -\frac{9\pi}{6} $$

Сравнивая $ -\frac{9\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{6} $, видим, что $ -\frac{\pi}{6} $ больше, так как оно расположено правее на числовой оси.

$$ -\frac{\pi}{6} > -\frac{9\pi}{6} $$

Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — это $ -\frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $

26.8. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\cos \frac{x}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

26.8.

Дано тригонометрическое уравнение:

$\cos\frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения вида $\cos(t) = a$ находится по формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

В данном уравнении сделаем замену $t = \frac{x}{4}$. Тогда уравнение примет вид $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арккосинуса для данного числа: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $\frac{x}{4}$ вместо $t$:

$\frac{x}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 4 \cdot \left(\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right)$

$x = \pm 3\pi + 8\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Мы получили две серии корней:

1) $x_1 = 3\pi + 8\pi k$

2) $x_2 = -3\pi + 8\pi k$

По условию задачи, нам нужно найти наименьший положительный корень, то есть наименьшее значение $x > 0$. Для этого будем подставлять различные целые значения $k$ в каждую серию решений.

Рассмотрим первую серию $x_1 = 3\pi + 8\pi k$:

При $k = -1$: $x_1 = 3\pi - 8\pi = -5\pi$ (отрицательный корень).

При $k = 0$: $x_1 = 3\pi + 0 = 3\pi$ (положительный корень).

Наименьший положительный корень в этой серии — $3\pi$.

Рассмотрим вторую серию $x_2 = -3\pi + 8\pi k$:

При $k = 0$: $x_2 = -3\pi + 0 = -3\pi$ (отрицательный корень).

При $k = 1$: $x_2 = -3\pi + 8\pi = 5\pi$ (положительный корень).

Наименьший положительный корень в этой серии — $5\pi$.

Сравнивая наименьшие положительные корни из обеих серий ($3\pi$ и $5\pi$), выбираем наименьший из них.

$3\pi < 5\pi$

Следовательно, наименьший положительный корень уравнения — это $3\pi$.

Ответ: $3\pi$

26.9. Сколько корней уравнения $cos3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$?

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = a$ записывается как $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 3x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Отсюда, разделив обе части на 3, находим две серии решений для $x$ :
1. $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$
2. $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Для этого решим двойные неравенства для каждой серии решений, подставляя целочисленные значения $n$.

Для первой серии решений $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$:
Решим неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi$.
Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{18} + \frac{2n}{3} \le 1$.
Умножим на 18, чтобы избавиться от дробей: $-9 \le 1 + 12n \le 18$.
Вычтем 1: $-10 \le 12n \le 17$.
Разделим на 12: $-\frac{10}{12} \le n \le \frac{17}{12}$, то есть $-\frac{5}{6} \le n \le 1\frac{5}{12}$.
Этому условию удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{18}$.
При $n=1$ получаем корень $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18}$.
Оба корня принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Для второй серии решений $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$:
Решим неравенство $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi$.
Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{18} + \frac{2n}{3} \le 1$.
Умножим на 18: $-9 \le -1 + 12n \le 18$.
Прибавим 1: $-8 \le 12n \le 19$.
Разделим на 12: $-\frac{8}{12} \le n \le \frac{19}{12}$, то есть $-\frac{2}{3} \le n \le 1\frac{7}{12}$.
Этому условию удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$ получаем корень $x = -\frac{\pi}{18}$.
При $n=1$ получаем корень $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18}$.
Оба корня также принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Всего мы нашли четыре различных корня, которые принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$: $-\frac{\pi}{18}$, $\frac{\pi}{18}$, $\frac{11\pi}{18}$ и $\frac{13\pi}{18}$.
Таким образом, количество корней равно 4.
Ответ: 4

26.10. Найдите все корни уравнения $\cos\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < 4\pi$.

Для решения задачи сначала найдем общее решение уравнения $\cos\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{2}$, а затем отберем те корни, которые удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < 4\pi$.

1. Нахождение общего решения уравнения.
Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ записывается в виде $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{12}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Поскольку $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$x + \frac{\pi}{12} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Это дает нам две серии решений:

Первая серия:
$x + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = \frac{8\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия:
$x + \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = -\frac{8\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = -\frac{9\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней, удовлетворяющих неравенству.
Нам нужно найти все корни из этих двух серий, которые лежат в интервале $-\frac{\pi}{6} < x < 4\pi$.
Для удобства приведем границы интервала к знаменателю 12: $-\frac{2\pi}{12} < x < \frac{48\pi}{12}$.

Проанализируем первую серию корней $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$, подставляя различные целые значения $k$:
При $k = -1$: $x = \frac{7\pi}{12} - 2\pi = -\frac{17\pi}{12}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{17\pi}{12} < -\frac{2\pi}{12}$.
При $k = 0$: $x = \frac{7\pi}{12}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{2\pi}{12} < \frac{7\pi}{12} < \frac{48\pi}{12}$.
При $k = 1$: $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi = \frac{31\pi}{12}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{2\pi}{12} < \frac{31\pi}{12} < \frac{48\pi}{12}$.
При $k = 2$: $x = \frac{7\pi}{12} + 4\pi = \frac{55\pi}{12}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{55\pi}{12} > \frac{48\pi}{12}$.

Проанализируем вторую серию корней $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{9\pi}{12} + 2\pi k$:
При $k = 0$: $x = -\frac{9\pi}{12}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{9\pi}{12} < -\frac{2\pi}{12}$.
При $k = 1$: $x = -\frac{9\pi}{12} + 2\pi = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{2\pi}{12} < \frac{15\pi}{12} < \frac{48\pi}{12}$.
При $k = 2$: $x = -\frac{9\pi}{12} + 4\pi = \frac{39\pi}{12} = \frac{13\pi}{4}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{2\pi}{12} < \frac{39\pi}{12} < \frac{48\pi}{12}$.
При $k = 3$: $x = -\frac{9\pi}{12} + 6\pi = \frac{63\pi}{12}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{63\pi}{12} > \frac{48\pi}{12}$.

Таким образом, мы нашли четыре корня, удовлетворяющие заданному условию. Расположим их в порядке возрастания: $\frac{7\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{4}$ ($\frac{15\pi}{12}$), $\frac{31\pi}{12}$, $\frac{13\pi}{4}$ ($\frac{39\pi}{12}$).

Ответ: $\frac{7\pi}{12}, \frac{5\pi}{4}, \frac{31\pi}{12}, \frac{13\pi}{4}$.

26.11. При каких значениях $a$ уравнение $\cos 2x = -4a^2 + 4a - 2$ имеет решения?

Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда значение его правой части принадлежит области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.

Таким образом, должно выполняться двойное неравенство:

$$ -1 \le -4a^2 + 4a - 2 \le 1 $$

Рассмотрим правую часть исходного уравнения как квадратичную функцию от параметра $a$: $f(a) = -4a^2 + 4a - 2$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($-4 < 0$). Следовательно, функция имеет максимальное значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы. Обозначим ее $a_v$:

$$ a_v = -\frac{4}{2 \cdot (-4)} = -\frac{4}{-8} = \frac{1}{2} $$

Найдем максимальное значение функции, подставив $a_v = \frac{1}{2}$ в выражение для $f(a)$:

$$ f_{\text{max}} = f\left(\frac{1}{2}\right) = -4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = -4 \cdot \frac{1}{4} + 2 - 2 = -1 $$

Таким образом, максимальное значение правой части уравнения равно $-1$, и оно достигается только при $a = \frac{1}{2}$. Для всех остальных значений $a$ значение выражения $-4a^2 + 4a - 2$ будет строго меньше $-1$.

Вернемся к нашему двойному неравенству:

$$ -1 \le -4a^2 + 4a - 2 \le 1 $$

Так как мы установили, что $f(a) = -4a^2 + 4a - 2 \le -1$ для любого $a$, то для выполнения двойного неравенства необходимо, чтобы значение $f(a)$ было равно $-1$. Любое значение $f(a) < -1$ не удовлетворяет левой части неравенства ($-1 \le f(a)$), а значений $f(a) > -1$ функция не принимает.

Следовательно, уравнение имеет решения только в том случае, когда правая часть равна своему максимальному значению, то есть $-1$.

$$ -4a^2 + 4a - 2 = -1 $$

Как мы уже выяснили, это равенство выполняется только при:

$$ a = \frac{1}{2} $$

При этом значении $a$ исходное уравнение принимает вид $\cos(2x) = -1$, которое имеет решения (например, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

26.12. При каких значениях $a$ уравнение $\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-a^{2}-1$ имеет решения?

Данное уравнение $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -a^2 - 1$ имеет решения тогда и только тогда, когда значение его правой части принадлежит области значений функции косинус.

Область значений функции $y = \cos(\alpha)$ для любого аргумента $\alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело решения, должно выполняться неравенство: $$-1 \le -a^2 - 1 \le 1$$

Решим это двойное неравенство. Для этого прибавим 1 ко всем его частям: $$-1 + 1 \le -a^2 - 1 + 1 \le 1 + 1$$ $$0 \le -a^2 \le 2$$

Полученное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:
1) $-a^2 \ge 0$
2) $-a^2 \le 2$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
Решим первое неравенство: $-a^2 \ge 0$.
Умножим обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $$a^2 \le 0$$ Поскольку квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен (то есть $a^2 \ge 0$), единственным решением неравенства $a^2 \le 0$ является случай, когда $a^2 = 0$. Отсюда следует, что $a=0$.

Теперь решим второе неравенство: $-a^2 \le 2$.
Умножим обе части на -1, также изменив знак неравенства на противоположный: $$a^2 \ge -2$$ Это неравенство справедливо для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен, а значит, всегда больше или равен -2.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Из первого неравенства мы получили, что $a=0$. Второе неравенство выполняется для всех действительных $a$. Следовательно, единственное значение $a$, удовлетворяющее всей системе, — это $a=0$.

Таким образом, исходное уравнение имеет решения только при $a=0$.

Ответ: $a=0$.