Номер 26.4, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.4. Решите уравнение:

1) $cos 2x = \frac{1}{2}$;

2) $cos \frac{x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $cos \frac{3x}{4} = -1.$

1) Решим уравнение $\cos{2x} = \frac{1}{2}$. Общее решение уравнения вида $\cos t = a$ записывается как $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t=2x$ и $a=\frac{1}{2}$. Значение $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, получаем: $2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2: $x = \frac{\pm\frac{\pi}{3}}{2} + \frac{2\pi n}{2}$. $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos\frac{x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем общую формулу $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Здесь $t = \frac{x}{5}$. Значение $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ находится по формуле $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, поэтому: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Подставляем в формулу: $\frac{x}{5} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, умножим обе части на 5: $x = 5 \left(\pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right)$. $x = \pm\frac{25\pi}{6} + 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm\frac{25\pi}{6} + 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\cos\frac{3x}{4} = -1$. Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение для $\cos t = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = \frac{3x}{4}$. Получаем: $\frac{3x}{4} = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Умножим обе части уравнения на 4: $3x = 4(\pi + 2\pi n) = 4\pi + 8\pi n$. Теперь разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$: $x = \frac{4\pi + 8\pi n}{3} = \frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.