Номер 26.7, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.7. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$$ \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $$

Для решения этого уравнения воспользуемся общей формулой для уравнений вида $ \cos(t) = a $, где $ |a| \le 1 $. Решение имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in Z $).

В нашем случае аргумент косинуса $ t = x - \frac{\pi}{6} $ и значение $ a = \frac{1}{2} $.

Значение арккосинуса от $ \frac{1}{2} $ равно $ \frac{\pi}{3} $, так как $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $.

Подставляем известные значения в общую формулу решения:

$$ x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in Z $$

Это равенство распадается на два независимых случая, которые дают две серии корней.

Рассмотрим первый случай (когда перед арккосинусом стоит знак «+»):

$$ x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $$

Выразим $x$, перенеся $ -\frac{\pi}{6} $ в правую часть уравнения:

$$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$$ x = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$

$$ x_1 = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in Z $$

Рассмотрим второй случай (когда перед арккосинусом стоит знак «-»):

$$ x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $$

Аналогично выразим $x$:

$$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ x = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$

$$ x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in Z $$

Теперь необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого проанализируем обе серии корней, подставляя различные целые значения $k$. Наибольший отрицательный корень — это отрицательное число, наиболее близкое к нулю.

Анализ первой серии корней $ x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $:

Чтобы корень был отрицательным, должно выполняться неравенство $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0 $.

$ 2\pi k < -\frac{\pi}{2} \implies k < -\frac{1}{4} $.

Наибольшее целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $ k = -1 $.

При $ k = -1 $ корень равен: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} $.

Анализ второй серии корней $ x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $:

Чтобы корень был отрицательным, должно выполняться неравенство $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 0 $.

$ 2\pi k < \frac{\pi}{6} \implies k < \frac{1}{12} $.

Наибольшее целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $ k = 0 $.

При $ k = 0 $ корень равен: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(0) = -\frac{\pi}{6} $.

Мы получили два кандидата на наибольший отрицательный корень: $ -\frac{3\pi}{2} $ и $ -\frac{\pi}{6} $.

Сравним эти два значения. Для этого можно привести их к общему знаменателю:

$$ -\frac{3\pi}{2} = -\frac{3 \cdot 3 \pi}{2 \cdot 3} = -\frac{9\pi}{6} $$

Сравнивая $ -\frac{9\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{6} $, видим, что $ -\frac{\pi}{6} $ больше, так как оно расположено правее на числовой оси.

$$ -\frac{\pi}{6} > -\frac{9\pi}{6} $$

Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — это $ -\frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $