Номер 26.5, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.5. Решите уравнение:

1) $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

3) $\cos\left(\frac{x}{6} - 2\right) = -1;$

4) $2\cos\left(\frac{\pi}{8} - 3x\right) + 1 = 0.$

1) $ \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение вида $ \cos(t) = a $. Общее решение для такого уравнения записывается как $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае аргумент косинуса $ t = x + \frac{\pi}{6} $, а значение $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Находим значение арккосинуса: $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$ x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

Теперь выразим $ x $, перенеся $ \frac{\pi}{6} $ в правую часть:

$ x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

Разобьем решение на два отдельных случая:

1. С плюсом: $ x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n $.

2. С минусом: $ x_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n $, $ x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos(\frac{\pi}{4} - x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Поэтому $ \cos(\frac{\pi}{4} - x) = \cos(-(\frac{\pi}{4} - x)) = \cos(x - \frac{\pi}{4}) $. Уравнение примет вид:

$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Применяем общую формулу для решения $ \cos(t) = a $: $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ t = x - \frac{\pi}{4} $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Находим значение арккосинуса: $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Подставляем в формулу:

$ x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Выражаем $ x $:

$ x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Рассматриваем два случая:

1. С плюсом: $ x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n $.

2. С минусом: $ x_2 = \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi n $.

Ответ: $ x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n $, $ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \cos(\frac{x}{6} - 2) = -1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $ \cos(t) = -1 $ имеет решение $ t = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем уравнении $ t = \frac{x}{6} - 2 $.

Приравниваем аргумент к решению для частного случая:

$ \frac{x}{6} - 2 = \pi + 2\pi n $

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $ x $:

$ \frac{x}{6} = 2 + \pi + 2\pi n $

$ x = 6(2 + \pi + 2\pi n) $

$ x = 12 + 6\pi + 12\pi n $

Ответ: $ x = 12 + 6\pi + 12\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 2\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) + 1 = 0 $

Сначала преобразуем уравнение к виду $ \cos(t) = a $.

$ 2\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = -1 $

$ \cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = -\frac{1}{2} $

Так как косинус — четная функция, $ \cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = \cos(3x - \frac{\pi}{8}) $. Получаем:

$ \cos(3x - \frac{\pi}{8}) = -\frac{1}{2} $

Применим общую формулу решения $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ t = 3x - \frac{\pi}{8} $ и $ a = -\frac{1}{2} $.

Находим арккосинус: $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Подставляем в формулу:

$ 3x - \frac{\pi}{8} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

Выражаем $ 3x $:

$ 3x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

Делим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) $

Рассматриваем два случая:

1. С плюсом: $ x_1 = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{3\pi + 16\pi}{24} + 2\pi n\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{19\pi}{24} + 2\pi n\right) = \frac{19\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} $.

2. С минусом: $ x_2 = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{8} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{3\pi - 16\pi}{24} + 2\pi n\right) = \frac{1}{3} \left(-\frac{13\pi}{24} + 2\pi n\right) = -\frac{13\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{19\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} $, $ x = -\frac{13\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.