Номер 5, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Напишите формулу корней уравнения $\cos x = 1$; $\cos x = 0$; $\cos x = -1$.

cos x = 1
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Для его решения удобно использовать единичную тригонометрическую окружность. Косинус угла – это абсцисса точки на этой окружности. Значение косинуса равно 1 в единственной точке с координатами (1, 0). Этой точке соответствует угол, равный 0 радиан. Поскольку функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к 0 целое число полных оборотов ($2\pi k$). Таким образом, общая формула для корней уравнения: $x = 0 + 2\pi k$, что упрощается до $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

cos x = 0
Это также является частным случаем. На единичной тригонометрической окружности косинус (абсцисса точки) равен нулю в двух точках: верхней с координатами (0, 1) и нижней с координатами (0, -1). Этим точкам соответствуют углы $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$). Эти две точки расположены на вертикальной оси и повторяются через каждый полуоборот (каждые $\pi$ радиан). Поэтому все решения можно описать одной формулой. Взяв за основу угол $\frac{\pi}{2}$, мы можем получить все остальные решения, прибавляя целое число полуоборотов ($\pi k$). Формула корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

cos x = -1
Рассмотрим третий частный случай. На единичной окружности косинус равен -1 в крайней левой точке с координатами (-1, 0). Этой точке соответствует угол, равный $\pi$ радиан. Как и в первом случае, из-за периодичности функции косинуса с периодом $2\pi$, все остальные решения получаются путем прибавления к $\pi$ целого числа полных оборотов ($2\pi k$). Следовательно, формула для всех корней данного уравнения имеет вид: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.