Страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях b имеет корни уравнение $ \cos x = b? $

1. Уравнение $\cos x = b$ представляет собой простейшее тригонометрическое уравнение. Вопрос о наличии корней у этого уравнения сводится к вопросу о том, какие значения может принимать функция $y = \cos x$.

Функция $y = \cos x$ является одной из основных тригонометрических функций. Её область значений, то есть множество всех возможных значений, которые может принимать $\cos x$, известна. По определению, косинус угла — это абсцисса точки на единичной окружности. Поскольку радиус этой окружности равен 1, координаты любой её точки по оси абсцисс (оси X) не могут выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$.

Таким образом, для любого действительного значения угла $x$ всегда выполняется двойное неравенство:

$$ -1 \le \cos x \le 1 $$

Для того чтобы уравнение $\cos x = b$ имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы значение $b$ находилось в пределах области значений функции косинус. Если значение $b$ будет больше $1$ (например, $b=2$) или меньше $-1$ (например, $b=-1.5$), то равенство $\cos x = b$ не сможет выполниться ни при каком значении $x$. Если же $b$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то всегда найдется как минимум один корень.

Следовательно, уравнение $\cos x = b$ имеет корни при выполнении условия:

$$ -1 \le b \le 1 $$

Это условие можно также записать в виде $b \in [-1, 1]$ или $|b| \le 1$.

Ответ: $-1 \le b \le 1$.

2. Сколько корней имеет уравнение

$\cos x = b$

$|b| \le 1$?

Данное уравнение — это простейшее тригонометрическое уравнение $cos(x) = b$. Условие $|b| \le 1$ означает, что $-1 \le b \le 1$. Это условие является необходимым для существования корней, так как область значений функции $y = cos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ключевым свойством функции косинус, влияющим на количество корней, является её периодичность. Основной период функции $y = cos(x)$ равен $2\pi$. Это значит, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и все числа вида $x_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число, также будут являться корнями. Поскольку множество целых чисел бесконечно, наличие хотя бы одного корня гарантирует наличие бесконечного множества корней.

Рассмотрим два возможных случая для значения $b$.

1. Случай, когда $|b| < 1$, то есть $-1 < b < 1$.
В этом случае общее решение уравнения $cos(x) = b$ записывается в виде формулы: $x = \pm arccos(b) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эта формула задаёт две различные бесконечные серии корней: $x_1 = arccos(b) + 2\pi k$ и $x_2 = -arccos(b) + 2\pi k$. Поскольку $k$ может принимать любое целое значение (положительное, отрицательное или ноль), каждая серия содержит бесконечное число корней. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много решений.
Например, для уравнения $cos(x) = \frac{1}{2}$ корнями будут $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Случай, когда $|b| = 1$, то есть $b=1$ или $b=-1$.
Это частные случаи.
При $b=1$ уравнение принимает вид $cos(x) = 1$. Его решения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
При $b=-1$ уравнение принимает вид $cos(x) = -1$. Его решения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В обоих этих подслучаях, поскольку $k$ может быть любым целым числом, уравнение также имеет бесконечное множество корней.

Таким образом, при любом значении $b$, удовлетворяющем условию $|b| \le 1$, уравнение $cos(x) = b$ всегда имеет бесконечное множество корней.

Ответ: Уравнение имеет бесконечно много корней.

3. Что называют арккосинусом числа $b$?

3. Что называют арккосинусом числа b?

Арккосинусом числа $b$, который обозначается как $\arccos(b)$, называют такое число $\alpha$ (представляющее собой угол в радианах), которое удовлетворяет двум условиям:

1. Косинус этого числа $\alpha$ равен $b$.
2. Это число $\alpha$ находится в промежутке от $0$ до $\pi$ (включительно).

Формально это определение можно записать так:

$\arccos(b) = \alpha$ тогда и только тогда, когда $\cos(\alpha) = b$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Ключевые свойства, вытекающие из определения:

• Область определения: Арккосинус существует только для чисел $b$, модуль которых не превышает 1. Это связано с тем, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, арккосинус определен при $|b| \le 1$, или, что то же самое, $b \in [-1, 1]$.
• Область значений: Значением арккосинуса всегда является число из отрезка $[0, \pi]$. Этот отрезок выбран для того, чтобы функция арккосинус была однозначной, так как на этом промежутке функция $y = \cos(x)$ монотонно убывает и принимает все свои значения от $1$ до $-1$ ровно по одному разу.

Проще говоря, $\arccos(b)$ — это ответ на вопрос: "Какой угол из промежутка от 0 до $\pi$ радиан имеет косинус, равный $b$?"

Примеры:

• $\arccos(1) = 0$, потому что $\cos(0) = 1$ и $0 \in [0, \pi]$.
• $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, потому что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [0, \pi]$.
• $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, потому что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$.
• $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, потому что $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ и $\frac{2\pi}{3} \in [0, \pi]$.
• $\arccos(-1) = \pi$, потому что $\cos(\pi) = -1$ и $\pi \in [0, \pi]$.

Ответ: Арккосинусом числа $b$, где $|b| \le 1$, называют такое число $\alpha$, что $\cos(\alpha) = b$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

4. Напишите формулу корней уравнения $\cos x = b$ при $|b| \le 1$.

Для решения уравнения $\cos x = b$ при условии $|b| \le 1$ необходимо найти все значения $x$, для которых косинус равен числу $b$. Условие $|b| \le 1$ является обязательным, так как область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$.

Формула для корней выводится из свойств тригонометрической функции $y = \cos x$:

• Определение арккосинуса: Сначала находят одно из решений. Для этого используется обратная тригонометрическая функция арккосинус. Арккосинус числа $b$ (обозначается как $\arccos b$) — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $b$. Это значение является одним из корней уравнения.
• Чётность функции: Функция косинус является чётной, то есть для любого $x$ справедливо равенство $\cos(-x) = \cos(x)$. Это означает, что если $x_0 = \arccos b$ является корнем уравнения, то и $-x_0 = -\arccos b$ также будет его корнем.
• Периодичность функции: Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что если $x_0$ является решением, то все углы вида $x_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), также являются решениями.

Объединяя эти свойства, мы получаем две серии корней для уравнения $\cos x = b$:
$x = \arccos b + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
$x = -\arccos b + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений принято записывать в виде одной компактной формулы, используя знак "плюс-минус".

Ответ: $x = \pm \arccos(b) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

5. Напишите формулу корней уравнения $\cos x = 1$; $\cos x = 0$; $\cos x = -1$.

cos x = 1
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Для его решения удобно использовать единичную тригонометрическую окружность. Косинус угла – это абсцисса точки на этой окружности. Значение косинуса равно 1 в единственной точке с координатами (1, 0). Этой точке соответствует угол, равный 0 радиан. Поскольку функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к 0 целое число полных оборотов ($2\pi k$). Таким образом, общая формула для корней уравнения: $x = 0 + 2\pi k$, что упрощается до $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

cos x = 0
Это также является частным случаем. На единичной тригонометрической окружности косинус (абсцисса точки) равен нулю в двух точках: верхней с координатами (0, 1) и нижней с координатами (0, -1). Этим точкам соответствуют углы $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$). Эти две точки расположены на вертикальной оси и повторяются через каждый полуоборот (каждые $\pi$ радиан). Поэтому все решения можно описать одной формулой. Взяв за основу угол $\frac{\pi}{2}$, мы можем получить все остальные решения, прибавляя целое число полуоборотов ($\pi k$). Формула корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

cos x = -1
Рассмотрим третий частный случай. На единичной окружности косинус равен -1 в крайней левой точке с координатами (-1, 0). Этой точке соответствует угол, равный $\pi$ радиан. Как и в первом случае, из-за периодичности функции косинуса с периодом $2\pi$, все остальные решения получаются путем прибавления к $\pi$ целого числа полных оборотов ($2\pi k$). Следовательно, формула для всех корней данного уравнения имеет вид: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

26.1. Решите уравнение:

1) $ \cos x = \frac{1}{2}; $

2) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

4) $ \cos x = \frac{1}{3}; $

5) $ \cos x = \frac{\pi}{3}; $

6) $ \cos x = \frac{\pi}{4}. $

1) Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, записывается по формуле: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Так как $|\frac{1}{2}| \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение арккосинуса для $\frac{1}{2}$ является табличным: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставив это значение в общую формулу, получаем решение:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнений вида $\cos x = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $|\frac{\sqrt{2}}{2}| \approx \frac{1.414}{2} = 0.707 \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение арккосинуса для $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является табличным: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в общую формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $|-\frac{\sqrt{3}}{2}| \approx \frac{1.732}{2} = 0.866 \le 1$, уравнение имеет решения.
Для нахождения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Табличное значение $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{3}$.
Применяем общую формулу решения $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| \le 1$, уравнение имеет решения.
Число $\frac{1}{3}$ не является табличным значением косинуса, поэтому арккосинус этого числа записывается в явном виде $\arccos(\frac{1}{3})$.
Таким образом, решение уравнения:
$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\cos x = \frac{\pi}{3}$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.
Уравнение $\cos x = a$ имеет решения только при условии $|a| \le 1$.
В нашем случае $a = \frac{\pi}{3}$. Оценим это значение. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем:
$a = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.047$.
Так как $\frac{\pi}{3} > 1$, это значение не входит в область значений функции косинус.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

6) Решим уравнение $\cos x = \frac{\pi}{4}$.
Проверим, имеет ли данное уравнение решения. Для этого необходимо, чтобы правая часть уравнения принадлежала отрезку $[-1, 1]$.
В нашем случае $a = \frac{\pi}{4}$. Оценим это значение, используя $\pi \approx 3.14$:
$a = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} = 0.785$.
Так как $-1 \le 0.785 \le 1$, условие выполняется, и уравнение имеет решения.
Воспользуемся общей формулой решения $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\frac{\pi}{4}$ не является табличным значением для косинуса, ответ записывается через арккосинус:
$x = \pm \arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.