Страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.12. Сколько корней уравнения $sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$?

Для того чтобы найти количество корней уравнения $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 3x$. Тогда исходное уравнение примет вид $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем, какому промежутку принадлежит переменная $t$. Если $x$ изменяется от $-\frac{3\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то $t = 3x$ изменяется от $3 \cdot (-\frac{3\pi}{2}) = -\frac{9\pi}{2}$ до $3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Таким образом, задача сводится к нахождению количества решений уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[-\frac{9\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Общее решение уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дается совокупностью двух серий:
$t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$,
$t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь произведем отбор корней для каждой серии, принадлежащих промежутку $[-\frac{9\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Для первой серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:
$-\frac{9\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{9}{2} \le \frac{1}{4} + 2k \le \frac{3}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все части неравенства на 4:
$-18 \le 1 + 8k \le 6$
Вычтем 1 из всех частей:
$-19 \le 8k \le 5$
Разделим на 8:
$-\frac{19}{8} \le k \le \frac{5}{8}$
$-2.375 \le k \le 0.625$
Целочисленные значения $k$, попадающие в этот интервал: $k = -2, -1, 0$. Следовательно, из этой серии получаем 3 корня.

Для второй серии $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ решим аналогичное неравенство:
$-\frac{9\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим на $\pi$ и умножим на 4:
$-18 \le 3 + 8k \le 6$
Вычтем 3 из всех частей:
$-21 \le 8k \le 3$
Разделим на 8:
$-\frac{21}{8} \le k \le \frac{3}{8}$
$-2.625 \le k \le 0.375$
Целочисленные значения $k$, попадающие в этот интервал: $k = -2, -1, 0$. Из этой серии получаем еще 3 корня.

Суммарно, на промежутке $[-\frac{9\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ уравнение для $t$ имеет $3 + 3 = 6$ корней. Поскольку каждому значению $t$ соответствует единственное значение $x = t/3$, исходное уравнение имеет столько же корней на заданном промежутке.

Ответ: 6

27.13. При каких значениях $a$ имеет решения уравнение $(a^2-1)\sin x=a+1$?

Данное уравнение $(a^2 - 1)\sin x = a + 1$ имеет решение, если существует такое значение $x$, для которого равенство выполняется. Так как множество значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то необходимо найти все значения параметра $a$, при которых можно найти соответствующее значение $\sin x$ на этом отрезке.

Рассмотрим два случая, в зависимости от коэффициента при $\sin x$.

Случай 1: $a^2 - 1 = 0$

Это условие выполняется при $a = 1$ или $a = -1$.

Если $a = 1$, уравнение принимает вид $(1^2 - 1)\sin x = 1 + 1$, что упрощается до $0 = 2$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=1$ решений нет.

Если $a = -1$, уравнение принимает вид $((-1)^2 - 1)\sin x = -1 + 1$, что упрощается до $0 = 0$. Это верное равенство для любого значения $x$. Следовательно, при $a=-1$ уравнение имеет решения.

Случай 2: $a^2 - 1 \neq 0$

Это условие выполняется при $a \neq 1$ и $a \neq -1$. В этом случае мы можем выразить $\sin x$ из уравнения:

$\sin x = \frac{a+1}{a^2-1}$

Используя формулу разности квадратов $a^2-1 = (a-1)(a+1)$ и учитывая, что $a \neq -1$ (а значит $a+1 \neq 0$), мы можем сократить дробь:

$\sin x = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a-1}$

Уравнение будет иметь решения тогда и только тогда, когда значение правой части принадлежит области значений синуса, то есть отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \frac{1}{a-1} \le 1$

Данное двойное неравенство, при условии $a \neq 1$, равносильно неравенству $|a-1| \ge 1$. Раскрывая модуль, получаем совокупность двух неравенств:

$a-1 \ge 1$ или $a-1 \le -1$

Решая их, находим:

$a \ge 2$ или $a \le 0$

Таким образом, для случая $a \neq \pm 1$ решения существуют при $a \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

Объединение результатов

Теперь объединим результаты обоих случаев. Уравнение имеет решения:

1. При $a=-1$ (из Случая 1).

2. При $a \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$ и при этом $a \neq \pm 1$ (из Случая 2). Это соответствует множеству $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0] \cup [2, \infty)$.

Общее множество значений $a$, при которых существуют решения, является объединением этих двух результатов:

$\{ -1 \} \cup \big( (-\infty, -1) \cup (-1, 0] \cup [2, \infty) \big) = (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

27.14. При каких значениях $a$ имеет решения уравнение $(a+4)\sin^2 2x = a^2 - 16?$

Для того чтобы данное уравнение имело решения, необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых существует хотя бы один $x$, удовлетворяющий уравнению $(a + 4)\sin^2{2x} = a^2 - 16$.

Значение выражения $\sin^2{2x}$ всегда находится в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \sin^2{2x} \le 1$.

Рассмотрим два возможных случая для коэффициента при $\sin^2{2x}$.

Случай 1: Коэффициент при $\sin^2{2x}$ равен нулю.

Пусть $a + 4 = 0$, то есть $a = -4$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$(-4 + 4)\sin^2{2x} = (-4)^2 - 16$

$0 \cdot \sin^2{2x} = 16 - 16$

$0 = 0$

Полученное равенство является верным тождеством для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a = -4$ уравнение имеет бесконечно много решений.

Случай 2: Коэффициент при $\sin^2{2x}$ не равен нулю.

Пусть $a + 4 \ne 0$, то есть $a \ne -4$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a+4)$:

$\sin^2{2x} = \frac{a^2 - 16}{a + 4}$

Разложим числитель правой части по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^2{2x} = \frac{(a - 4)(a + 4)}{a + 4}$

Так как $a \ne -4$, мы можем сократить дробь на $(a+4)$:

$\sin^2{2x} = a - 4$

Как было упомянуто ранее, область значений функции $\sin^2{2x}$ — это отрезок $[0, 1]$. Чтобы уравнение имело решения, значение правой части, $a-4$, должно принадлежать этому отрезку. Таким образом, мы получаем двойное неравенство:

$0 \le a - 4 \le 1$

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$0 + 4 \le a \le 1 + 4$

$4 \le a \le 5$

Таким образом, при $a \in [4, 5]$ уравнение имеет решения.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все значения $a$, при которых исходное уравнение имеет решения. Это значение $a = -4$ из первого случая и интервал $[4, 5]$ из второго случая.

Ответ: $a \in \{-4\} \cup [4, 5]$.

27.15. Решите уравнение:

1) $x - \sqrt{x - 1} = 3;$

2) $\sqrt{1 + 4x - x^2} + 1 = x;$

3) $\sqrt{3x + 4} \cdot \sqrt{2x - 5} = 2x + 1;$

4) $\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{5 + x}} = \sqrt{5 + x}.$

1) $x - \sqrt{x - 1} = 3$

Перенесем слагаемые так, чтобы уединить радикал в одной части уравнения:

$x - 3 = \sqrt{x - 1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения (которая равна корню) также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases}$ $\implies$ $x \ge 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$(x - 3)^2 = (\sqrt{x - 1})^2$

$x^2 - 6x + 9 = x - 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 3$.

Проведем проверку подстановкой $x=5$ в исходное уравнение:

$5 - \sqrt{5 - 1} = 5 - \sqrt{4} = 5 - 2 = 3$.

$3 = 3$.

Решение верно.

Ответ: $5$.

2) $\sqrt{1 + 4x - x^2} + 1 = x$

Уединим радикал:

$\sqrt{1 + 4x - x^2} = x - 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 1 + 4x - x^2 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x \ge 1$.

Решим первое неравенство $1 + 4x - x^2 \ge 0$, или $x^2 - 4x - 1 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$:

$D = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

Так как ветви параболы $y=x^2 - 4x - 1$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 4x - 1 \le 0$ выполняется при $x \in [2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}]$.

Пересекая два условия ОДЗ, получаем: $x \in [1, 2 + \sqrt{5}]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{1 + 4x - x^2} = x - 1$ в квадрат:

$1 + 4x - x^2 = (x - 1)^2$

$1 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все в одну сторону:

$2x^2 - 6x = 0$

$2x(x - 3) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in [1, 2 + \sqrt{5}]$.

Корень $x_1 = 0$ не принадлежит отрезку $[1, 2 + \sqrt{5}]$, так как $0 < 1$.

Корень $x_2 = 3$. Проверим, принадлежит ли он отрезку: $1 \le 3$ (верно). $3 \le 2 + \sqrt{5} \iff 1 \le \sqrt{5} \iff 1 \le 5$ (верно). Значит, $x_2 = 3$ является решением.

Проверка подстановкой $x=3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1 + 4(3) - 3^2} + 1 = \sqrt{1 + 12 - 9} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2+1=3$.

$x=3$.

$3 = 3$.

Ответ: $3$.

3) $\sqrt{3x + 4} + \sqrt{2x - 5} = 2x + 1$

Найдем ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Также левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} 3x + 4 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \\ 2x + 1 \ge 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x \ge -4/3 \\ x \ge 5/2 \\ x \ge -1/2 \end{cases}$ $\implies$ $x \ge 5/2$

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $f(x) = \sqrt{3x+4} + \sqrt{2x-5}$ и $g(x) = 2x+1$ на области определения $x \ge 5/2$.

Найдем значения функций на границе ОДЗ, при $x = 5/2 = 2.5$:

$f(2.5) = \sqrt{3(2.5) + 4} + \sqrt{2(2.5) - 5} = \sqrt{7.5 + 4} + \sqrt{5 - 5} = \sqrt{11.5} \approx 3.39$

$g(2.5) = 2(2.5) + 1 = 5 + 1 = 6$

При $x=2.5$ имеем $f(x) < g(x)$.

Проанализируем поведение функций. Функция $f(x)$ является вогнутой (ее вторая производная $f''(x) = -\frac{9}{4}(3x+4)^{-3/2} - (2x-5)^{-3/2}$ отрицательна на ОДЗ), а $g(x)$ — линейная функция (прямая). Скорость роста $f(x)$ убывает, в то время как скорость роста $g(x)$ постоянна и равна 2. Поскольку при $x \to \infty$ функция $g(x)$ растет как $2x$, а функция $f(x)$ растет медленнее, как $(\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{x}$, то при больших $x$ также будет выполняться $f(x) < g(x)$.

Можно доказать, что неравенство $f(x) < g(x)$ выполняется на всей области определения $x \ge 5/2$. Для этого возведем обе части в квадрат (они обе положительны):

$(\sqrt{3x + 4} + \sqrt{2x - 5})^2 < (2x + 1)^2$

$3x+4 + 2\sqrt{(3x+4)(2x-5)} + 2x-5 < 4x^2 + 4x + 1$

$5x-1 + 2\sqrt{6x^2-7x-20} < 4x^2 + 4x + 1$

$2\sqrt{6x^2-7x-20} < 4x^2 - x + 2$

Правая часть $4x^2 - x + 2$ всегда положительна (дискриминант $D = 1-32=-31<0$). Снова возводим в квадрат:

$4(6x^2-7x-20) < (4x^2 - x + 2)^2$

$24x^2 - 28x - 80 < 16x^4 - 8x^3 + 17x^2 - 4x + 4$

$0 < 16x^4 - 8x^3 - 7x^2 + 24x + 84$

Анализ полинома $P(x) = 16x^4 - 8x^3 - 7x^2 + 24x + 84$ на интервале $[5/2, \infty)$ показывает, что он положителен. Так как все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство $f(x) < g(x)$ верно для всех $x$ из ОДЗ. Таким образом, равенство $f(x) = g(x)$ не может быть достигнуто.

Ответ: нет корней.

4) $\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{5+x}} = \sqrt{5+x}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 5 + x > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x \ge 0 \\ x > -5 \end{cases}$ $\implies$ $x \ge 0$

На ОДЗ знаменатель $\sqrt{5+x}$ не равен нулю, поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $\sqrt{5+x}$:

$\sqrt{x} \cdot \sqrt{5+x} + 3 = (\sqrt{5+x})^2$

$\sqrt{x(5+x)} + 3 = 5+x$

$\sqrt{x^2 + 5x} + 3 = 5+x$

Уединим радикал:

$\sqrt{x^2 + 5x} = x + 2$

На ОДЗ ($x \ge 0$) правая часть $x+2$ всегда положительна, поэтому можно без опасений возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + 5x})^2 = (x + 2)^2$

$x^2 + 5x = x^2 + 4x + 4$

Упростим уравнение:

$5x - 4x = 4$

$x = 4$

Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Проведем проверку:

$\sqrt{4} + \frac{3}{\sqrt{5+4}} = 2 + \frac{3}{\sqrt{9}} = 2 + \frac{3}{3} = 2+1=3$.

Правая часть: $\sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

$3=3$.

Решение верно.

Ответ: $4$.

27.16. Постройте график функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:

1) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x \le 0, \\ 4x - x^2, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x < -2, \\ -x, \text{ если } -2 \le x \le 0, \\ \sqrt[4]{x}, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

1) Для функции $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \le 0, \\ 4x - x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. При $x \le 0$ строим график функции $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой III координатной четверти. График представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точки $(-1, -1)$, $(-2, -2)$ и т.д. в отрицательном направлении оси Ox. Точка $(0, 0)$ включена в этот участок графика.

2. При $x > 0$ строим график функции $y = 4x - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ равен -1). Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$. Соответствующее значение $y_0 = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Найдем нули функции: $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4-x) = 0$, откуда $x=0$ и $x=4$. Мы строим часть параболы для $x > 0$, которая начинается от точки $(0, 0)$ (не включая ее), достигает своего максимума в вершине $(2, 4)$ и пересекает ось абсцисс в точке $(4, 0)$.

Объединяя обе части, получаем единый график. Так как при $x \to 0^+$ значение второй функции стремится к $0$, а значение первой функции при $x=0$ равно $0$, то в точке $x=0$ разрыва нет, и график является непрерывным.

Область значений:

Для части графика при $x \le 0$ ($y=x$) значения $y$ изменяются от $-\infty$ до $0$ включительно, то есть $y \in (-\infty, 0]$.

Для части графика при $x > 0$ ($y=4x-x^2$) значения $y$ изменяются от $0$ (не включая) до максимального значения в вершине, равного $4$, то есть $y \in (0, 4]$.

Объединив эти два промежутка, получим область значений всей функции: $E(y) = (-\infty, 0] \cup (0, 4] = (-\infty, 4]$.

Промежутки возрастания и убывания:

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y=x$ возрастает.

На промежутке $(0, 2]$ функция $y=4x-x^2$ возрастает (это участок параболы до вершины).

На промежутке $[2, +\infty)$ функция $y=4x-x^2$ убывает (участок параболы после вершины).

Так как функция непрерывна в точке $x=0$ и возрастает слева и справа от нее, мы можем объединить промежутки возрастания. Таким образом, функция возрастает на всем промежутке $(-\infty, 2]$. Функция убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(y) = (-\infty, 4]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$; функция убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

2) Для функции $y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ -x, & \text{если } -2 \le x \le 0, \\ \sqrt[4]{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

График данной функции состоит из трех частей:

1. При $x < -2$ строим график функции $y = -\frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во II координатной четверти. При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (ось Ox — горизонтальная асимптота). На границе промежутка, в точке $x = -2$, имеем $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Сама точка $(-2, 2)$ не принадлежит этой части графика (является "выколотой").

2. При $-2 \le x \le 0$ строим график функции $y = -x$. Это отрезок прямой. Вычислим значения на концах отрезка: при $x = -2$ имеем $y = -(-2) = 2$; при $x = 0$ имеем $y = 0$. Таким образом, это отрезок, соединяющий точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$. Обе точки включены. Точка $(-2, 2)$ "закрашивает" выколотую точку с предыдущего участка, делая функцию непрерывной в этой точке.

3. При $x > 0$ строим график функции $y = \sqrt[4]{x}$. Это ветвь степенной функции. График начинается из точки $(0, 0)$ (не включая ее, но эта точка принадлежит предыдущему участку, поэтому разрыва нет) и плавно возрастает, проходя, например, через точки $(1, 1)$ и $(16, 2)$.

Итоговый график является непрерывной линией.

Область значений:

На промежутке $(-\infty, -2)$ функция $y = -4/x$ принимает значения в интервале $(0, 2)$.

На промежутке $[-2, 0]$ функция $y=-x$ принимает значения на отрезке $[0, 2]$.

На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = \sqrt[4]{x}$ принимает значения в интервале $(0, +\infty)$.

Объединяя все полученные множества значений $(0, 2) \cup [0, 2] \cup (0, +\infty)$, получаем итоговую область значений всей функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:

На промежутке $(-\infty, -2)$ производная $y' = (-\frac{4}{x})' = \frac{4}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$, то $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

На промежутке $[-2, 0]$ производная $y' = (-x)' = -1$. Так как $y' < 0$, функция убывает.

На промежутке $(0, +\infty)$ производная $y' = (\sqrt[4]{x})' = (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. Так как $x > 0$, то $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: область значений $E(y) = [0, +\infty)$; промежутки возрастания: $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$; промежуток убывания: $[-2, 0]$.