gdz.top
Номер 27.14, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 27. Уравнение sin x = b. Упражнения - номер 27.14, страница 201.
№27.13
№27.14 (с. 201)
Условие. №27.14 (с. 201)
27.14. При каких значениях $a$ имеет решения уравнение $(a+4)\sin^2 2x = a^2 - 16?$
Решение 1. №27.14 (с. 201)
Решение 2. №27.14 (с. 201)
Решение 3. №27.14 (с. 201)
Решение 4. №27.14 (с. 201)
Решение 5. №27.14 (с. 201)
Для того чтобы данное уравнение имело решения, необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых существует хотя бы один $x$, удовлетворяющий уравнению $(a + 4)\sin^2{2x} = a^2 - 16$.
Значение выражения $\sin^2{2x}$ всегда находится в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \sin^2{2x} \le 1$.
Рассмотрим два возможных случая для коэффициента при $\sin^2{2x}$.
Случай 1: Коэффициент при $\sin^2{2x}$ равен нулю.
Пусть $a + 4 = 0$, то есть $a = -4$. Подставим это значение в исходное уравнение:
$(-4 + 4)\sin^2{2x} = (-4)^2 - 16$
$0 \cdot \sin^2{2x} = 16 - 16$
$0 = 0$
Полученное равенство является верным тождеством для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a = -4$ уравнение имеет бесконечно много решений.
Случай 2: Коэффициент при $\sin^2{2x}$ не равен нулю.
Пусть $a + 4 \ne 0$, то есть $a \ne -4$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a+4)$:
$\sin^2{2x} = \frac{a^2 - 16}{a + 4}$
Разложим числитель правой части по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\sin^2{2x} = \frac{(a - 4)(a + 4)}{a + 4}$
Так как $a \ne -4$, мы можем сократить дробь на $(a+4)$:
$\sin^2{2x} = a - 4$
Как было упомянуто ранее, область значений функции $\sin^2{2x}$ — это отрезок $[0, 1]$. Чтобы уравнение имело решения, значение правой части, $a-4$, должно принадлежать этому отрезку. Таким образом, мы получаем двойное неравенство:
$0 \le a - 4 \le 1$
Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$0 + 4 \le a \le 1 + 4$
$4 \le a \le 5$
Таким образом, при $a \in [4, 5]$ уравнение имеет решения.
Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все значения $a$, при которых исходное уравнение имеет решения. Это значение $a = -4$ из первого случая и интервал $[4, 5]$ из второго случая.
Ответ: $a \in \{-4\} \cup [4, 5]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 27.14 расположенного на странице 201 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №27.14 (с. 201), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.