Номер 1, страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях b имеет корни уравнение $\operatorname{tg} x = b$? $\operatorname{ctg} x = b$?

tg x = b?

Уравнение `$tg x = b$` имеет корни тогда и только тогда, когда число `$b$` принадлежит множеству значений функции `$y = \operatorname{tg} x$`.

Тригонометрическая функция тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: `$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$`. Область определения этой функции — все действительные числа `$x$`, кроме тех, при которых `$\cos x = 0$`, то есть `$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$`, где `$n \in \mathbb{Z}$`.

Множеством (или областью) значений функции `$y = \operatorname{tg} x$` является множество всех действительных чисел, то есть интервал `$(-\infty; +\infty)$`. Это можно увидеть из поведения функции на интервале `$(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$`: когда `$x$` стремится к `$\frac{\pi}{2}$` слева, `$\operatorname{tg} x$` стремится к `$+\infty$`; когда `$x$` стремится к `$-\frac{\pi}{2}$` справа, `$\operatorname{tg} x$` стремится к `$-\infty$`.

Поскольку функция тангенса может принимать любое действительное значение, то для любого числа `$b$` найдется такое значение `$x$`, что `$\operatorname{tg} x = b$`. Решение уравнения имеет вид `$x = \operatorname{arctg}(b) + \pi n$`, `$n \in \mathbb{Z}$`, и оно существует для любого действительного `$b$`.

Ответ: Уравнение `$\operatorname{tg} x = b$` имеет корни при любом значении `$b$`, то есть при `$b \in \mathbb{R}$`.

ctg x = b?

Аналогично предыдущему случаю, уравнение `$\operatorname{ctg} x = b$` имеет корни тогда и только тогда, когда число `$b$` принадлежит множеству значений функции `$y = \operatorname{ctg} x$`.

Тригонометрическая функция котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: `$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$`. Область определения этой функции — все действительные числа `$x$`, кроме тех, при которых `$\sin x = 0$`, то есть `$x \neq \pi k$`, где `$k \in \mathbb{Z}$`.

Множеством значений функции `$y = \operatorname{ctg} x$` также является множество всех действительных чисел, то есть интервал `$(-\infty; +\infty)$`. На интервале `$(0; \pi)$`, когда `$x$` стремится к `$0$` справа, `$\operatorname{ctg} x$` стремится к `$+\infty$`; когда `$x$` стремится к `$\pi$` слева, `$\operatorname{ctg} x$` стремится к `$-\infty$`.

Так как функция котангенса может принимать любое действительное значение, для любого числа `$b$` найдется такое значение `$x$`, что `$\operatorname{ctg} x = b$`. Решение этого уравнения имеет вид `$x = \operatorname{arcctg}(b) + \pi k$`, `$k \in \mathbb{Z}$`, и оно существует для любого действительного `$b$`.

Ответ: Уравнение `$\operatorname{ctg} x = b$` имеет корни при любом значении `$b$`, то есть при `$b \in \mathbb{R}$`.