Номер 1, страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях b имеет корни уравнение $\operatorname{tg} x = b$? $\operatorname{ctg} x = b$?

tg x = b?

Уравнение $tg x = b$ имеет корни тогда и только тогда, когда число $b$ принадлежит множеству значений функции $y = \operatorname{tg} x$.

Тригонометрическая функция тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Область определения этой функции — все действительные числа $x$, кроме тех, при которых $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Множеством (или областью) значений функции $y = \operatorname{tg} x$ является множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Это можно увидеть из поведения функции на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$: когда $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ слева, $\operatorname{tg} x$ стремится к $+\infty$; когда $x$ стремится к $-\frac{\pi}{2}$ справа, $\operatorname{tg} x$ стремится к $-\infty$.

Поскольку функция тангенса может принимать любое действительное значение, то для любого числа $b$ найдется такое значение $x$, что $\operatorname{tg} x = b$. Решение уравнения имеет вид $x = \operatorname{arctg}(b) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, и оно существует для любого действительного $b$.

Ответ: Уравнение $\operatorname{tg} x = b$ имеет корни при любом значении $b$, то есть при $b \in \mathbb{R}$.

ctg x = b?

Аналогично предыдущему случаю, уравнение $\operatorname{ctg} x = b$ имеет корни тогда и только тогда, когда число $b$ принадлежит множеству значений функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Тригонометрическая функция котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Область определения этой функции — все действительные числа $x$, кроме тех, при которых $\sin x = 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Множеством значений функции $y = \operatorname{ctg} x$ также является множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. На интервале $(0; \pi)$, когда $x$ стремится к $0$ справа, $\operatorname{ctg} x$ стремится к $+\infty$; когда $x$ стремится к $\pi$ слева, $\operatorname{ctg} x$ стремится к $-\infty$.

Так как функция котангенса может принимать любое действительное значение, для любого числа $b$ найдется такое значение $x$, что $\operatorname{ctg} x = b$. Решение этого уравнения имеет вид $x = \operatorname{arcctg}(b) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, и оно существует для любого действительного $b$.

Ответ: Уравнение $\operatorname{ctg} x = b$ имеет корни при любом значении $b$, то есть при $b \in \mathbb{R}$.