Номер 27.16, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.16. Постройте график функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:

1) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x \le 0, \\ 4x - x^2, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x < -2, \\ -x, \text{ если } -2 \le x \le 0, \\ \sqrt[4]{x}, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

1) Для функции $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \le 0, \\ 4x - x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. При $x \le 0$ строим график функции $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой III координатной четверти. График представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точки $(-1, -1)$, $(-2, -2)$ и т.д. в отрицательном направлении оси Ox. Точка $(0, 0)$ включена в этот участок графика.

2. При $x > 0$ строим график функции $y = 4x - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ равен -1). Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$. Соответствующее значение $y_0 = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Найдем нули функции: $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4-x) = 0$, откуда $x=0$ и $x=4$. Мы строим часть параболы для $x > 0$, которая начинается от точки $(0, 0)$ (не включая ее), достигает своего максимума в вершине $(2, 4)$ и пересекает ось абсцисс в точке $(4, 0)$.

Объединяя обе части, получаем единый график. Так как при $x \to 0^+$ значение второй функции стремится к $0$, а значение первой функции при $x=0$ равно $0$, то в точке $x=0$ разрыва нет, и график является непрерывным.

Область значений:

Для части графика при $x \le 0$ ($y=x$) значения $y$ изменяются от $-\infty$ до $0$ включительно, то есть $y \in (-\infty, 0]$.

Для части графика при $x > 0$ ($y=4x-x^2$) значения $y$ изменяются от $0$ (не включая) до максимального значения в вершине, равного $4$, то есть $y \in (0, 4]$.

Объединив эти два промежутка, получим область значений всей функции: $E(y) = (-\infty, 0] \cup (0, 4] = (-\infty, 4]$.

Промежутки возрастания и убывания:

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y=x$ возрастает.

На промежутке $(0, 2]$ функция $y=4x-x^2$ возрастает (это участок параболы до вершины).

На промежутке $[2, +\infty)$ функция $y=4x-x^2$ убывает (участок параболы после вершины).

Так как функция непрерывна в точке $x=0$ и возрастает слева и справа от нее, мы можем объединить промежутки возрастания. Таким образом, функция возрастает на всем промежутке $(-\infty, 2]$. Функция убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(y) = (-\infty, 4]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$; функция убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

2) Для функции $y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ -x, & \text{если } -2 \le x \le 0, \\ \sqrt[4]{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

График данной функции состоит из трех частей:

1. При $x < -2$ строим график функции $y = -\frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во II координатной четверти. При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (ось Ox — горизонтальная асимптота). На границе промежутка, в точке $x = -2$, имеем $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Сама точка $(-2, 2)$ не принадлежит этой части графика (является "выколотой").

2. При $-2 \le x \le 0$ строим график функции $y = -x$. Это отрезок прямой. Вычислим значения на концах отрезка: при $x = -2$ имеем $y = -(-2) = 2$; при $x = 0$ имеем $y = 0$. Таким образом, это отрезок, соединяющий точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$. Обе точки включены. Точка $(-2, 2)$ "закрашивает" выколотую точку с предыдущего участка, делая функцию непрерывной в этой точке.

3. При $x > 0$ строим график функции $y = \sqrt[4]{x}$. Это ветвь степенной функции. График начинается из точки $(0, 0)$ (не включая ее, но эта точка принадлежит предыдущему участку, поэтому разрыва нет) и плавно возрастает, проходя, например, через точки $(1, 1)$ и $(16, 2)$.

Итоговый график является непрерывной линией.

Область значений:

На промежутке $(-\infty, -2)$ функция $y = -4/x$ принимает значения в интервале $(0, 2)$.

На промежутке $[-2, 0]$ функция $y=-x$ принимает значения на отрезке $[0, 2]$.

На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = \sqrt[4]{x}$ принимает значения в интервале $(0, +\infty)$.

Объединяя все полученные множества значений $(0, 2) \cup [0, 2] \cup (0, +\infty)$, получаем итоговую область значений всей функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:

На промежутке $(-\infty, -2)$ производная $y' = (-\frac{4}{x})' = \frac{4}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$, то $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

На промежутке $[-2, 0]$ производная $y' = (-x)' = -1$. Так как $y' < 0$, функция убывает.

На промежутке $(0, +\infty)$ производная $y' = (\sqrt[4]{x})' = (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. Так как $x > 0$, то $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: область значений $E(y) = [0, +\infty)$; промежутки возрастания: $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$; промежуток убывания: $[-2, 0]$.