Номер 28.1, страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.1. Решите уравнение:

1) $ \operatorname{tg} x = \sqrt{3}; $

2) $ \operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}; $

3) $ \operatorname{tg} x = -1; $

4) $ \operatorname{tg} x = 5; $

5) $ \operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}; $

6) $ \operatorname{ctg} x = -1; $

7) $ \operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}; $

8) $ \operatorname{ctg} x = \sqrt{7}; $

9) $ \operatorname{ctg} x = 0. $

1) tg x = √3;

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\operatorname{tg} x = a$. Общее решение для такого уравнения находится по формуле $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \sqrt{3}$. Подставляем это значение в формулу:
$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$.
Согласно таблице значений тригонометрических функций, $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, общее решение уравнения:

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) tg x = −√3/3;

Используем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{tg} x = a$: $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$x = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$.
Используем свойство нечетности арктангенса: $\arctan(-a) = -\arctan(a)$.
$x = -\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$.
Табличное значение $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решение:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) tg x = −1;

Решаем уравнение вида $\operatorname{tg} x = a$ по формуле $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При $a = -1$ получаем:
$x = \arctan(-1) + \pi n$.
Так как арктангенс — нечетная функция, $\arctan(-1) = -\arctan(1)$.
Из таблицы значений мы знаем, что $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Тогда решение уравнения:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) tg x = 5;

Применяем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{tg} x = a$: $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 5$. Число 5 не является табличным значением для тангенса, поэтому решение записывается через арктангенс.
$x = \arctan(5) + \pi n$.

Ответ: $x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) ctg x = √3/3;

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\operatorname{ctg} x = a$. Общее решение для такого уравнения имеет вид $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$x = \operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$.
Табличное значение $\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, решение:

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) ctg x = −1;

Используем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{ctg} x = a$: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При $a = -1$ получаем:
$x = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n$.
Используем свойство арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$.
$x = \pi - \operatorname{arcctg}(1) + \pi n$.
Из таблицы значений $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$x = \pi - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7) ctg x = −√3;

Решаем уравнение вида $\operatorname{ctg} x = a$ по формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\sqrt{3}$.
$x = \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$.
Используя свойство $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$, получаем:
$x = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi n$.
Табличное значение $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
$x = \pi - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8) ctg x = √7;

Применяем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{ctg} x = a$: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \sqrt{7}$. Число $\sqrt{7}$ не является табличным значением для котангенса, поэтому решение записывается через арккотангенс.
$x = \operatorname{arcctg}(\sqrt{7}) + \pi n$.

Ответ: $x = \operatorname{arcctg}(\sqrt{7}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

9) ctg x = 0;

Это частный случай уравнения $\operatorname{ctg} x = a$. Решение находится по общей формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При $a=0$ получаем:
$x = \operatorname{arcctg}(0) + \pi n$.
Значение арккотангенса нуля равно $\frac{\pi}{2}$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.