Номер 27.15, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.15. Решите уравнение:

1) $x - \sqrt{x - 1} = 3;$

2) $\sqrt{1 + 4x - x^2} + 1 = x;$

3) $\sqrt{3x + 4} \cdot \sqrt{2x - 5} = 2x + 1;$

4) $\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{5 + x}} = \sqrt{5 + x}.$

1) $x - \sqrt{x - 1} = 3$

Перенесем слагаемые так, чтобы уединить радикал в одной части уравнения:

$x - 3 = \sqrt{x - 1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения (которая равна корню) также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases}$ $\implies$ $x \ge 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$(x - 3)^2 = (\sqrt{x - 1})^2$

$x^2 - 6x + 9 = x - 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 3$.

Проведем проверку подстановкой $x=5$ в исходное уравнение:

$5 - \sqrt{5 - 1} = 5 - \sqrt{4} = 5 - 2 = 3$.

$3 = 3$.

Решение верно.

Ответ: $5$.

2) $\sqrt{1 + 4x - x^2} + 1 = x$

Уединим радикал:

$\sqrt{1 + 4x - x^2} = x - 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 1 + 4x - x^2 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x \ge 1$.

Решим первое неравенство $1 + 4x - x^2 \ge 0$, или $x^2 - 4x - 1 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$:

$D = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

Так как ветви параболы $y=x^2 - 4x - 1$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 4x - 1 \le 0$ выполняется при $x \in [2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}]$.

Пересекая два условия ОДЗ, получаем: $x \in [1, 2 + \sqrt{5}]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{1 + 4x - x^2} = x - 1$ в квадрат:

$1 + 4x - x^2 = (x - 1)^2$

$1 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все в одну сторону:

$2x^2 - 6x = 0$

$2x(x - 3) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in [1, 2 + \sqrt{5}]$.

Корень $x_1 = 0$ не принадлежит отрезку $[1, 2 + \sqrt{5}]$, так как $0 < 1$.

Корень $x_2 = 3$. Проверим, принадлежит ли он отрезку: $1 \le 3$ (верно). $3 \le 2 + \sqrt{5} \iff 1 \le \sqrt{5} \iff 1 \le 5$ (верно). Значит, $x_2 = 3$ является решением.

Проверка подстановкой $x=3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1 + 4(3) - 3^2} + 1 = \sqrt{1 + 12 - 9} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2+1=3$.

$x=3$.

$3 = 3$.

Ответ: $3$.

3) $\sqrt{3x + 4} + \sqrt{2x - 5} = 2x + 1$

Найдем ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Также левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} 3x + 4 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \\ 2x + 1 \ge 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x \ge -4/3 \\ x \ge 5/2 \\ x \ge -1/2 \end{cases}$ $\implies$ $x \ge 5/2$

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $f(x) = \sqrt{3x+4} + \sqrt{2x-5}$ и $g(x) = 2x+1$ на области определения $x \ge 5/2$.

Найдем значения функций на границе ОДЗ, при $x = 5/2 = 2.5$:

$f(2.5) = \sqrt{3(2.5) + 4} + \sqrt{2(2.5) - 5} = \sqrt{7.5 + 4} + \sqrt{5 - 5} = \sqrt{11.5} \approx 3.39$

$g(2.5) = 2(2.5) + 1 = 5 + 1 = 6$

При $x=2.5$ имеем $f(x) < g(x)$.

Проанализируем поведение функций. Функция $f(x)$ является вогнутой (ее вторая производная $f''(x) = -\frac{9}{4}(3x+4)^{-3/2} - (2x-5)^{-3/2}$ отрицательна на ОДЗ), а $g(x)$ — линейная функция (прямая). Скорость роста $f(x)$ убывает, в то время как скорость роста $g(x)$ постоянна и равна 2. Поскольку при $x \to \infty$ функция $g(x)$ растет как $2x$, а функция $f(x)$ растет медленнее, как $(\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{x}$, то при больших $x$ также будет выполняться $f(x) < g(x)$.

Можно доказать, что неравенство $f(x) < g(x)$ выполняется на всей области определения $x \ge 5/2$. Для этого возведем обе части в квадрат (они обе положительны):

$(\sqrt{3x + 4} + \sqrt{2x - 5})^2 < (2x + 1)^2$

$3x+4 + 2\sqrt{(3x+4)(2x-5)} + 2x-5 < 4x^2 + 4x + 1$

$5x-1 + 2\sqrt{6x^2-7x-20} < 4x^2 + 4x + 1$

$2\sqrt{6x^2-7x-20} < 4x^2 - x + 2$

Правая часть $4x^2 - x + 2$ всегда положительна (дискриминант $D = 1-32=-31<0$). Снова возводим в квадрат:

$4(6x^2-7x-20) < (4x^2 - x + 2)^2$

$24x^2 - 28x - 80 < 16x^4 - 8x^3 + 17x^2 - 4x + 4$

$0 < 16x^4 - 8x^3 - 7x^2 + 24x + 84$

Анализ полинома $P(x) = 16x^4 - 8x^3 - 7x^2 + 24x + 84$ на интервале $[5/2, \infty)$ показывает, что он положителен. Так как все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство $f(x) < g(x)$ верно для всех $x$ из ОДЗ. Таким образом, равенство $f(x) = g(x)$ не может быть достигнуто.

Ответ: нет корней.

4) $\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{5+x}} = \sqrt{5+x}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 5 + x > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x \ge 0 \\ x > -5 \end{cases}$ $\implies$ $x \ge 0$

На ОДЗ знаменатель $\sqrt{5+x}$ не равен нулю, поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $\sqrt{5+x}$:

$\sqrt{x} \cdot \sqrt{5+x} + 3 = (\sqrt{5+x})^2$

$\sqrt{x(5+x)} + 3 = 5+x$

$\sqrt{x^2 + 5x} + 3 = 5+x$

Уединим радикал:

$\sqrt{x^2 + 5x} = x + 2$

На ОДЗ ($x \ge 0$) правая часть $x+2$ всегда положительна, поэтому можно без опасений возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + 5x})^2 = (x + 2)^2$

$x^2 + 5x = x^2 + 4x + 4$

Упростим уравнение:

$5x - 4x = 4$

$x = 4$

Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Проведем проверку:

$\sqrt{4} + \frac{3}{\sqrt{5+4}} = 2 + \frac{3}{\sqrt{9}} = 2 + \frac{3}{3} = 2+1=3$.

Правая часть: $\sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

$3=3$.

Решение верно.

Ответ: $4$.