Номер 27.13, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.13. При каких значениях $a$ имеет решения уравнение $(a^2-1)\sin x=a+1$?

Данное уравнение $(a^2 - 1)\sin x = a + 1$ имеет решение, если существует такое значение $x$, для которого равенство выполняется. Так как множество значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то необходимо найти все значения параметра $a$, при которых можно найти соответствующее значение $\sin x$ на этом отрезке.

Рассмотрим два случая, в зависимости от коэффициента при $\sin x$.

Случай 1: $a^2 - 1 = 0$

Это условие выполняется при $a = 1$ или $a = -1$.

Если $a = 1$, уравнение принимает вид $(1^2 - 1)\sin x = 1 + 1$, что упрощается до $0 = 2$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=1$ решений нет.

Если $a = -1$, уравнение принимает вид $((-1)^2 - 1)\sin x = -1 + 1$, что упрощается до $0 = 0$. Это верное равенство для любого значения $x$. Следовательно, при $a=-1$ уравнение имеет решения.

Случай 2: $a^2 - 1 \neq 0$

Это условие выполняется при $a \neq 1$ и $a \neq -1$. В этом случае мы можем выразить $\sin x$ из уравнения:

$\sin x = \frac{a+1}{a^2-1}$

Используя формулу разности квадратов $a^2-1 = (a-1)(a+1)$ и учитывая, что $a \neq -1$ (а значит $a+1 \neq 0$), мы можем сократить дробь:

$\sin x = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a-1}$

Уравнение будет иметь решения тогда и только тогда, когда значение правой части принадлежит области значений синуса, то есть отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \frac{1}{a-1} \le 1$

Данное двойное неравенство, при условии $a \neq 1$, равносильно неравенству $|a-1| \ge 1$. Раскрывая модуль, получаем совокупность двух неравенств:

$a-1 \ge 1$ или $a-1 \le -1$

Решая их, находим:

$a \ge 2$ или $a \le 0$

Таким образом, для случая $a \neq \pm 1$ решения существуют при $a \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

Объединение результатов

Теперь объединим результаты обоих случаев. Уравнение имеет решения:

1. При $a=-1$ (из Случая 1).

2. При $a \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$ и при этом $a \neq \pm 1$ (из Случая 2). Это соответствует множеству $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0] \cup [2, \infty)$.

Общее множество значений $a$, при которых существуют решения, является объединением этих двух результатов:

$\{ -1 \} \cup \big( (-\infty, -1) \cup (-1, 0] \cup [2, \infty) \big) = (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.