Номер 27.12, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.12. Сколько корней уравнения $sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$?

Для того чтобы найти количество корней уравнения $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 3x$. Тогда исходное уравнение примет вид $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем, какому промежутку принадлежит переменная $t$. Если $x$ изменяется от $-\frac{3\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то $t = 3x$ изменяется от $3 \cdot (-\frac{3\pi}{2}) = -\frac{9\pi}{2}$ до $3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Таким образом, задача сводится к нахождению количества решений уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[-\frac{9\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Общее решение уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дается совокупностью двух серий:
$t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$,
$t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь произведем отбор корней для каждой серии, принадлежащих промежутку $[-\frac{9\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Для первой серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:
$-\frac{9\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{9}{2} \le \frac{1}{4} + 2k \le \frac{3}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все части неравенства на 4:
$-18 \le 1 + 8k \le 6$
Вычтем 1 из всех частей:
$-19 \le 8k \le 5$
Разделим на 8:
$-\frac{19}{8} \le k \le \frac{5}{8}$
$-2.375 \le k \le 0.625$
Целочисленные значения $k$, попадающие в этот интервал: $k = -2, -1, 0$. Следовательно, из этой серии получаем 3 корня.

Для второй серии $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ решим аналогичное неравенство:
$-\frac{9\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим на $\pi$ и умножим на 4:
$-18 \le 3 + 8k \le 6$
Вычтем 3 из всех частей:
$-21 \le 8k \le 3$
Разделим на 8:
$-\frac{21}{8} \le k \le \frac{3}{8}$
$-2.625 \le k \le 0.375$
Целочисленные значения $k$, попадающие в этот интервал: $k = -2, -1, 0$. Из этой серии получаем еще 3 корня.

Суммарно, на промежутке $[-\frac{9\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ уравнение для $t$ имеет $3 + 3 = 6$ корней. Поскольку каждому значению $t$ соответствует единственное значение $x = t/3$, исходное уравнение имеет столько же корней на заданном промежутке.

Ответ: 6