Номер 27.11, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.11. Найдите все корни уравнения $\sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, принадлежащие промежутку $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Сначала решим уравнение $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ в общем виде. Для этого сделаем замену переменной: пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда исходное уравнение примет вид $\sin(t) = \frac{1}{2}$.

Общее решение для $t$ представляет собой совокупность двух серий:

$ \begin{cases} t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Упростив второе выражение в системе, получим:

$ \begin{cases} t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Теперь выполним обратную замену $x = t + \frac{\pi}{3}$, чтобы найти общие решения для переменной $x$.

Для первой серии решений: $x = \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для второй серии решений: $x = \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right) + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Далее необходимо отобрать корни, которые принадлежат промежутку $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$. Это можно сделать с помощью двойных неравенств.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$:

Запишем неравенство: $-\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{3\pi}{2}$.

Разделим все части на $\pi$: $-1 \le \frac{1}{2} + 2n \le \frac{3}{2}$.

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей: $-1 - \frac{1}{2} \le 2n \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$, что дает $-\frac{3}{2} \le 2n \le 1$.

Разделим на 2: $-\frac{3}{4} \le n \le \frac{1}{2}$.

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=0$. При $n=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.

Для второй серии корней $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$:

Запишем неравенство: $-\pi \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$.

Разделим все части на $\pi$: $-1 \le \frac{7}{6} + 2k \le \frac{3}{2}$.

Вычтем $\frac{7}{6}$ из всех частей: $-1 - \frac{7}{6} \le 2k \le \frac{3}{2} - \frac{7}{6}$, что дает $-\frac{13}{6} \le 2k \le \frac{9-7}{6}$ или $-\frac{13}{6} \le 2k \le \frac{1}{3}$.

Разделим на 2: $-\frac{13}{12} \le k \le \frac{1}{6}$.

Целые числа $k$, удовлетворяющие этому неравенству, — это $k=-1$ и $k=0$.

При $k=-1$ получаем корень $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi-12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

При $k=0$ получаем корень $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, мы нашли три корня, принадлежащих заданному промежутку: $-\frac{5\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}$.