Номер 27.9, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 2;$

2) $\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = 1;$

3) $3\sin \frac{x}{2} + \sqrt{3}\cos \frac{x}{2} = 3.$

1) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 2$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае $a = \sqrt{3}$, $b = 1$. Найдем значение выражения $\sqrt{a^2 + b^2}$: $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части исходного уравнения на 2:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{2}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = 1$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Подставим эти значения в уравнение:
$\cos\frac{\pi}{6}\sin x + \sin\frac{\pi}{6}\cos x = 1$

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение:
$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = 1$

Это также линейное тригонометрическое уравнение. Здесь $a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$. Найдем $\sqrt{a^2+b^2}$:
$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим:
$\cos\frac{\pi}{4}\sin x - \sin\frac{\pi}{4}\cos x = \frac{1}{2}$

Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3\sin\frac{x}{2} + \sqrt{3}\cos\frac{x}{2} = 3$

Это уравнение вида $a\sin y + b\cos y = c$, где $y = \frac{x}{2}$, $a=3$, $b=\sqrt{3}$. Найдем $\sqrt{a^2+b^2}$:
$\sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на $2\sqrt{3}$:
$\frac{3}{2\sqrt{3}}\sin\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cos\frac{x}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим коэффициенты: $\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Уравнение примет вид:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$, получаем:
$\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{x}{2} + \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используя формулу синуса суммы, имеем:
$\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения распадаются на две серии:

Первая серия решений:
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений:
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k, x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.