Номер 27.5, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.5. Решите уравнение:

1) $ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

2) $ \sin \left( \frac{\pi}{8} - x \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

3) $ \sin \left( \frac{x}{3} + 1 \right) = -1 $;

4) $ \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{12} - 3x \right) - 1 = 0 $.

1) $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение вида $\sin(t) = a$. Общее решение для таких уравнений записывается как $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдём значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим значения в общую формулу:

$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Теперь выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{6}$ в правую часть уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(\frac{\pi}{8} - x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем это уравнение для аргумента синуса $\frac{\pi}{8} - x$.

Значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Применяем общую формулу решения для синуса:

$\frac{\pi}{8} - x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$. Сначала перенесём $\frac{\pi}{8}$:

$-x = -\frac{\pi}{8} + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$x = \frac{\pi}{8} - (-1)^k \frac{\pi}{3} - \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} - (-1)^k \frac{\pi}{3} - \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin(\frac{x}{3} + 1) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $\sin(t) = -1$ имеет решение $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3} + 1$.

Приравниваем аргумент синуса к решению:

$\frac{x}{3} + 1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Выразим $x$. Сначала перенесём 1 в правую часть:

$\frac{x}{3} = -1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Умножим обе части на 3:

$x = 3(-1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -3 - \frac{3\pi}{2} + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -3 - \frac{3\pi}{2} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{12} - 3x) - 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение к стандартному виду $\sin(t) = a$.

$\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{12} - 3x) = 1$.

$\sin(\frac{\pi}{12} - 3x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь решаем полученное уравнение. Аргумент $t = \frac{\pi}{12} - 3x$. Значение арксинуса $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\pi}{12} - 3x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $3x$:

$-3x = -\frac{\pi}{12} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Умножим на $-1$:

$3x = \frac{\pi}{12} - (-1)^k \frac{\pi}{4} - \pi k$.

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{12} - (-1)^k \frac{\pi}{4} - \pi k\right)$.

$x = \frac{\pi}{36} - \frac{(-1)^k\pi}{12} - \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{36} - \frac{(-1)^k\pi}{12} - \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.