Номер 3, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Что называют арксинусом числа b?

Для $|b| \le 1$

Арксинусом числа b, которое обозначается как $\arcsin(b)$, называют такое число (угол) $a$, для которого одновременно выполняются два условия.

Во-первых, синус угла $a$ должен быть равен числу $b$. Это выражается формулой:
$\sin(a) = b$

Во-вторых, этот угол $a$ должен находиться в определённом промежутке, а именно на отрезке от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ (в радианах), или от -90° до 90° (в градусах). Математически это записывается так:
$-\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2}$

Важно помнить, что функция арксинуса определена не для всех чисел $b$. Она существует только для тех значений $b$, которые находятся в отрезке $[-1, 1]$, так как область значений функции синуса именно этот отрезок. Таким образом, обязательным условием является $|b| \le 1$.

Итак, запись $a = \arcsin(b)$ является краткой формой для системы двух условий:
$ \begin{cases} \sin(a) = b \\ -\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2} \end{cases} $
где $|b| \le 1$.

Геометрический смысл: На единичной окружности $\arcsin(b)$ — это угол (или длина дуги от точки $(1, 0)$), который находится в правой полуплоскости (от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$) и соответствует точке на окружности с ординатой (координатой y), равной $b$.

Пример:
Найдем $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Нам нужно найти угол $a$, для которого:
1) $\sin(a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2) $-\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2}$
Существует бесконечное множество углов, синус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (например, $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \dots$). Однако, из всех этих значений только угол $a = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет второму условию, то есть принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: Арксинусом числа $b$, где $|b| \le 1$, называется такое число $a$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $b$.