Номер 27.1, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.1. Решите уравнение:

1) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

2) $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

3) $ \sin x = \frac{1}{4} $;

4) $ \sin x = \sqrt{2} $.

1) Решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = a$. Общая формула для его решения: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение для функции синус.
Находим арксинус: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем ту же общую формулу: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для нахождения арксинуса воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.
$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выражение можно преобразовать, внеся минус в степень:
$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sin x = \frac{1}{4}$.
Применяем общую формулу для решения уравнения $\sin x = a$: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{4}$. Так как $-1 \le \frac{1}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение $\frac{1}{4}$ не является табличным для функции синус, поэтому решение выражается через арксинус этого числа.
Подставляем $a=\frac{1}{4}$ в общую формулу:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\sin x = \sqrt{2}$.
Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
В данном уравнении требуется, чтобы $\sin x$ был равен $\sqrt{2}$.
Значение $\sqrt{2}$ приблизительно равно $1.414$.
Поскольку $\sqrt{2} > 1$, это значение не входит в область значений функции синус.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.