Номер 27.7, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.7. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Тогда уравнение примет вид:

$\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения можно записать в виде совокупности двух серий:

$ \begin{cases} t = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k \\ t = \pi - \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k \end{cases} , k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:

$ \begin{cases} t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ t = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi k \end{cases} , k \in \mathbb{Z} $

Упростим второе уравнение системы:

$ \begin{cases} t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \end{cases} , k \in \mathbb{Z} $

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$.

Для первой серии решений:

$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$

Для второй серии решений:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{16\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k$

Таким образом, все корни уравнения описываются двумя формулами:

$x_1 = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x_2 = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

По условию задачи, нам нужно найти наименьший положительный корень, то есть $x > 0$. Для этого переберем значения целочисленного параметра $k$ для каждой серии.

Для серии $x_1 = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$:

Если $k=0$, то $x = -\frac{7\pi}{12} < 0$.

Если $k=1$, то $x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi = \frac{-7\pi + 24\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$. Это положительный корень.

Для серии $x_2 = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k$:

Если $k=0$, то $x = \frac{13\pi}{12}$. Это положительный корень.

Если $k=-1$, то $x = \frac{13\pi}{12} - 2\pi = \frac{13\pi - 24\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} < 0$.

Мы получили два наименьших положительных корня из каждой серии: $\frac{17\pi}{12}$ и $\frac{13\pi}{12}$.

Сравним эти два значения:

$\frac{13\pi}{12} < \frac{17\pi}{12}$

Следовательно, наименьшим положительным корнем исходного уравнения является $\frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{13\pi}{12}$