Номер 27.10, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.10. Решите уравнение:

1) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 1;$

2) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}.$

1) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 1$;

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используется метод введения вспомогательного угла.

Коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ равны $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.

Вычислим вспомогательный коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на $2$:

$\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{1}{2}$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Левая часть уравнения является формулой синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения можно найти из совокупности двух серий:

1) $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

2) $x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi + 5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$.

Это также линейное тригонометрическое уравнение. Применим метод введения вспомогательного угла.

Коэффициенты $a=1$ и $b=1$.

Вычислим вспомогательный коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = 1$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Левая часть уравнения является формулой синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Уравнение принимает вид:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.