Страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.1. Решите уравнение:

1) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

2) $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

3) $ \sin x = \frac{1}{4} $;

4) $ \sin x = \sqrt{2} $.

1) Решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = a$. Общая формула для его решения: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение для функции синус.
Находим арксинус: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем ту же общую формулу: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для нахождения арксинуса воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.
$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выражение можно преобразовать, внеся минус в степень:
$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sin x = \frac{1}{4}$.
Применяем общую формулу для решения уравнения $\sin x = a$: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{4}$. Так как $-1 \le \frac{1}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение $\frac{1}{4}$ не является табличным для функции синус, поэтому решение выражается через арксинус этого числа.
Подставляем $a=\frac{1}{4}$ в общую формулу:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\sin x = \sqrt{2}$.
Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
В данном уравнении требуется, чтобы $\sin x$ был равен $\sqrt{2}$.
Значение $\sqrt{2}$ приблизительно равно $1.414$.
Поскольку $\sqrt{2} > 1$, это значение не входит в область значений функции синус.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

27.2. Решите уравнение:

1) $\sin x = \frac{1}{2}$;

2) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$;

4) $\sin x = 1,5$.

1) Решить уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $ \sin x = a $, где $ |a| \le 1 $, имеет вид: $ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in Z $ ( $Z$ — множество целых чисел).

В данном случае $ a = \frac{1}{2} $. Значение арксинуса от $ \frac{1}{2} $ является табличным: $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Подставим это значение в общую формулу решения:

$ x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z $.

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z $.

2) Решить уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используем ту же общую формулу для решения: $ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in Z $.

Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Для нахождения арксинуса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-y) = -\arcsin(y) $.

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

Теперь подставим найденное значение в общую формулу:

$ x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n, n \in Z $.

Выражение можно упростить, внеся знак "минус" под степень: $ (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1} $.

$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.

3) Решить уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} $.

Сначала необходимо проверить, имеет ли уравнение решение. Решения существуют, если значение $ a = \frac{\sqrt{5}}{3} $ находится в пределах области значений функции синус, то есть в отрезке $ [-1, 1] $.

Оценим значение $ \frac{\sqrt{5}}{3} $. Мы знаем, что $ 4 < 5 < 9 $, следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} $, что дает $ 2 < \sqrt{5} < 3 $.

Разделим все части неравенства на 3: $ \frac{2}{3} < \frac{\sqrt{5}}{3} < 1 $.

Поскольку значение $ \frac{\sqrt{5}}{3} $ принадлежит интервалу $ (-1, 1) $, уравнение имеет решения. Данное значение не является табличным, поэтому ответ выражается через функцию арксинус.

Применяем общую формулу $ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in Z $:

$ x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}) + \pi n, n \in Z $.

Ответ: $ x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}) + \pi n, n \in Z $.

4) Решить уравнение $ \sin x = 1,5 $.

Область значений тригонометрической функции $ y = \sin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любого действительного угла $ x $ должно выполняться неравенство $ -1 \le \sin x \le 1 $.

В данном уравнении правая часть равна $ 1,5 $. Так как $ 1,5 > 1 $, это значение не входит в область значений функции синус.

Следовательно, не существует такого действительного числа $ x $, синус которого был бы равен $ 1,5 $.

Ответ: решений нет.

27.3. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{x}{6} = -\frac{1}{2}$;

2) $\sin 5x = 1$;

3) $\sin (-8x) = \frac{2}{9}$.

1) $ \sin\frac{x}{6} = -\frac{1}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin(t) = a $. Общее решение такого уравнения записывается по формуле: $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае аргумент синуса $ t = \frac{x}{6} $ и значение $ a = -\frac{1}{2} $.

Найдем значение арксинуса: $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

Подставим известные значения в общую формулу решения:

$ \frac{x}{6} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k $

Упростим выражение:

$ \frac{x}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, умножим обе части уравнения на 6:

$ x = 6 \cdot \left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \right) $

$ x = (-1)^{k+1} \pi + 6\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin 5x = 1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $ \sin(t) = 1 $ имеет вид: $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае аргумент синуса $ t = 5x $.

Подставляем в формулу для частного случая:

$ 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 5:

$ x = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin(-8x) = \frac{2}{9} $

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

$ -\sin(8x) = \frac{2}{9} $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ \sin(8x) = -\frac{2}{9} $.

Применим общую формулу решения для уравнения $ \sin(t) = a $: $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ t = 8x $ и $ a = -\frac{2}{9} $.

Используем свойство арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $:

$ \arcsin\left(-\frac{2}{9}\right) = -\arcsin\left(\frac{2}{9}\right) $.

Подставим в общую формулу:

$ 8x = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{2}{9}\right)\right) + \pi k $

$ 8x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 8:

$ x = \frac{(-1)^{k+1}}{8} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{(-1)^{k+1}}{8} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z} $.

27.4. Решите уравнение:

1) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\sin \frac{x}{7} = 0;$

3) $\sin \frac{2x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

1) Решим уравнение $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin t = a$. Общее решение для такого уравнения записывается по формуле $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

В данном уравнении $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим эти значения в общую формулу решения:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{4}}{2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin \frac{x}{7} = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Уравнение $\sin t = 0$ имеет решение $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{x}{7}$.

Приравниваем аргумент синуса к общему решению:

$\frac{x}{7} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 7:

$x = 7\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 7\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sin \frac{2x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем общую формулу решения для уравнения $\sin t = a$: $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $t = \frac{2x}{5}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем значение арксинуса. Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, то $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{2x}{5} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Можно упростить выражение, используя свойство степеней $(-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1}$:

$\frac{2x}{5} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{5}{2}$:

$x = \frac{5}{2} \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$

$x = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

27.5. Решите уравнение:

1) $ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

2) $ \sin \left( \frac{\pi}{8} - x \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

3) $ \sin \left( \frac{x}{3} + 1 \right) = -1 $;

4) $ \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{12} - 3x \right) - 1 = 0 $.

1) $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение вида $\sin(t) = a$. Общее решение для таких уравнений записывается как $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдём значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим значения в общую формулу:

$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Теперь выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{6}$ в правую часть уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(\frac{\pi}{8} - x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем это уравнение для аргумента синуса $\frac{\pi}{8} - x$.

Значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Применяем общую формулу решения для синуса:

$\frac{\pi}{8} - x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$. Сначала перенесём $\frac{\pi}{8}$:

$-x = -\frac{\pi}{8} + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$x = \frac{\pi}{8} - (-1)^k \frac{\pi}{3} - \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} - (-1)^k \frac{\pi}{3} - \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin(\frac{x}{3} + 1) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $\sin(t) = -1$ имеет решение $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3} + 1$.

Приравниваем аргумент синуса к решению:

$\frac{x}{3} + 1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Выразим $x$. Сначала перенесём 1 в правую часть:

$\frac{x}{3} = -1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Умножим обе части на 3:

$x = 3(-1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -3 - \frac{3\pi}{2} + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -3 - \frac{3\pi}{2} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{12} - 3x) - 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение к стандартному виду $\sin(t) = a$.

$\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{12} - 3x) = 1$.

$\sin(\frac{\pi}{12} - 3x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь решаем полученное уравнение. Аргумент $t = \frac{\pi}{12} - 3x$. Значение арксинуса $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\pi}{12} - 3x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $3x$:

$-3x = -\frac{\pi}{12} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Умножим на $-1$:

$3x = \frac{\pi}{12} - (-1)^k \frac{\pi}{4} - \pi k$.

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{12} - (-1)^k \frac{\pi}{4} - \pi k\right)$.

$x = \frac{\pi}{36} - \frac{(-1)^k\pi}{12} - \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{36} - \frac{(-1)^k\pi}{12} - \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

27.6. Решите уравнение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{18}-8x\right)=1;$

2) $2\sin\left(\frac{x}{5}-4\right)+1=0.$

1)

Дано уравнение: $ \sin(\frac{\pi}{18} - 8x) = 1 $.

Это частный случай тригонометрического уравнения вида $ \sin(t) = 1 $. Его решение имеет вид $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $ (k — любое целое число).

В данном уравнении аргумент синуса $ t = \frac{\pi}{18} - 8x $. Приравняем его к общему решению:

$ \frac{\pi}{18} - 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Теперь необходимо выразить переменную $ x $. Для этого сначала изолируем слагаемое с $ x $:

$ -8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} + 2\pi k $

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18:

$ -8x = \frac{9\pi}{18} - \frac{\pi}{18} + 2\pi k $

$ -8x = \frac{8\pi}{18} + 2\pi k $

Сократим дробь $ \frac{8\pi}{18} $ на 2:

$ -8x = \frac{4\pi}{9} + 2\pi k $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на -8:

$ x = \frac{4\pi}{9 \cdot (-8)} + \frac{2\pi k}{-8} $

$ x = -\frac{4\pi}{72} - \frac{2\pi k}{8} $

Сократим получившиеся дроби:

$ x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi k}{4} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение: $ 2\sin(\frac{x}{5} - 4) + 1 = 0 $.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить синус:

$ 2\sin(\frac{x}{5} - 4) = -1 $

$ \sin(\frac{x}{5} - 4) = -\frac{1}{2} $

Это общее тригонометрическое уравнение вида $ \sin(t) = a $. Общая формула для его решения: $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = \frac{x}{5} - 4 $ и $ a = -\frac{1}{2} $.

Найдем значение арксинуса: $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

Подставим известные значения в общую формулу решения:

$ \frac{x}{5} - 4 = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k $

Выражение $ (-1)^k \cdot (-1) $ можно записать как $ (-1)^{k+1} $:

$ \frac{x}{5} - 4 = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $

Теперь выразим $ x $. Перенесем 4 в правую часть уравнения:

$ \frac{x}{5} = 4 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы найти $ x $:

$ x = 5 \left( 4 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \right) $

$ x = 20 + (-1)^{k+1} \frac{5\pi}{6} + 5\pi k $

Ответ: $ x = 20 + (-1)^{k+1} \frac{5\pi}{6} + 5\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

27.7. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Тогда уравнение примет вид:

$\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения можно записать в виде совокупности двух серий:

$ \begin{cases} t = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k \\ t = \pi - \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k \end{cases} , k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:

$ \begin{cases} t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ t = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi k \end{cases} , k \in \mathbb{Z} $

Упростим второе уравнение системы:

$ \begin{cases} t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \end{cases} , k \in \mathbb{Z} $

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$.

Для первой серии решений:

$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$

Для второй серии решений:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{16\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k$

Таким образом, все корни уравнения описываются двумя формулами:

$x_1 = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x_2 = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

По условию задачи, нам нужно найти наименьший положительный корень, то есть $x > 0$. Для этого переберем значения целочисленного параметра $k$ для каждой серии.

Для серии $x_1 = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$:

Если $k=0$, то $x = -\frac{7\pi}{12} < 0$.

Если $k=1$, то $x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi = \frac{-7\pi + 24\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$. Это положительный корень.

Для серии $x_2 = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k$:

Если $k=0$, то $x = \frac{13\pi}{12}$. Это положительный корень.

Если $k=-1$, то $x = \frac{13\pi}{12} - 2\pi = \frac{13\pi - 24\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} < 0$.

Мы получили два наименьших положительных корня из каждой серии: $\frac{17\pi}{12}$ и $\frac{13\pi}{12}$.

Сравним эти два значения:

$\frac{13\pi}{12} < \frac{17\pi}{12}$

Следовательно, наименьшим положительным корнем исходного уравнения является $\frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{13\pi}{12}$

27.8. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $ \sin \left(3x - \frac{\pi}{15}\right) = -1 $.

27.8.

Дано тригонометрическое уравнение:
$sin\left(3x - \frac{\pi}{15}\right) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для уравнения $sin(y) = -1$ имеет вид:
$y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 3x - \frac{\pi}{15}$. Приравняем аргумент синуса к общему решению:
$3x - \frac{\pi}{15} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{15}$ в правую часть:
$3x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{15} + 2\pi k$

Приведем дроби с $\pi$ к общему знаменателю (30):
$3x = -\frac{15\pi}{30} + \frac{2\pi}{30} + 2\pi k$
$3x = -\frac{13\pi}{30} + 2\pi k$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-\frac{13\pi}{30}}{3} + \frac{2\pi k}{3}$
$x = -\frac{13\pi}{90} + \frac{2\pi k}{3}$

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого найдем такое целое значение $k$, при котором $x$ будет максимально близким к нулю, оставаясь отрицательным.
Решим неравенство $x < 0$:
$-\frac{13\pi}{90} + \frac{2\pi k}{3} < 0$

$\frac{2\pi k}{3} < \frac{13\pi}{90}$
Разделим обе части на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знак неравенства не меняется) и умножим на 3:
$2k < \frac{13 \cdot 3}{90}$
$2k < \frac{13}{30}$
$k < \frac{13}{60}$

Поскольку $k$ должно быть целым числом ($k \in \mathbb{Z}$) и $k < \frac{13}{60}$ (а $\frac{13}{60} \approx 0.217$), наибольшим целым значением для $k$, удовлетворяющим этому условию, является $k=0$.

Подставим $k=0$ в формулу для $x$, чтобы найти искомый корень:
$x = -\frac{13\pi}{90} + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = -\frac{13\pi}{90}$

Это и есть наибольший отрицательный корень, так как для следующего по убыванию целого значения $k=-1$ корень будет $x = -\frac{13\pi}{90} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{73\pi}{90}$, что является меньшим числом.

Ответ: $-\frac{13\pi}{90}$

27.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 2;$

2) $\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = 1;$

3) $3\sin \frac{x}{2} + \sqrt{3}\cos \frac{x}{2} = 3.$

1) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 2$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае $a = \sqrt{3}$, $b = 1$. Найдем значение выражения $\sqrt{a^2 + b^2}$: $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части исходного уравнения на 2:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{2}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = 1$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Подставим эти значения в уравнение:
$\cos\frac{\pi}{6}\sin x + \sin\frac{\pi}{6}\cos x = 1$

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение:
$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = 1$

Это также линейное тригонометрическое уравнение. Здесь $a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$. Найдем $\sqrt{a^2+b^2}$:
$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим:
$\cos\frac{\pi}{4}\sin x - \sin\frac{\pi}{4}\cos x = \frac{1}{2}$

Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3\sin\frac{x}{2} + \sqrt{3}\cos\frac{x}{2} = 3$

Это уравнение вида $a\sin y + b\cos y = c$, где $y = \frac{x}{2}$, $a=3$, $b=\sqrt{3}$. Найдем $\sqrt{a^2+b^2}$:
$\sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на $2\sqrt{3}$:
$\frac{3}{2\sqrt{3}}\sin\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cos\frac{x}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим коэффициенты: $\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Уравнение примет вид:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$, получаем:
$\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{x}{2} + \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используя формулу синуса суммы, имеем:
$\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения распадаются на две серии:

Первая серия решений:
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений:
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k, x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

27.10. Решите уравнение:

1) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 1;$

2) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}.$

1) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 1$;

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используется метод введения вспомогательного угла.

Коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ равны $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.

Вычислим вспомогательный коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на $2$:

$\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{1}{2}$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Левая часть уравнения является формулой синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения можно найти из совокупности двух серий:

1) $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

2) $x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi + 5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$.

Это также линейное тригонометрическое уравнение. Применим метод введения вспомогательного угла.

Коэффициенты $a=1$ и $b=1$.

Вычислим вспомогательный коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = 1$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Левая часть уравнения является формулой синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Уравнение принимает вид:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

27.11. Найдите все корни уравнения $\sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, принадлежащие промежутку $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Сначала решим уравнение $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ в общем виде. Для этого сделаем замену переменной: пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда исходное уравнение примет вид $\sin(t) = \frac{1}{2}$.

Общее решение для $t$ представляет собой совокупность двух серий:

$ \begin{cases} t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Упростив второе выражение в системе, получим:

$ \begin{cases} t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Теперь выполним обратную замену $x = t + \frac{\pi}{3}$, чтобы найти общие решения для переменной $x$.

Для первой серии решений: $x = \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для второй серии решений: $x = \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right) + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Далее необходимо отобрать корни, которые принадлежат промежутку $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$. Это можно сделать с помощью двойных неравенств.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$:

Запишем неравенство: $-\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{3\pi}{2}$.

Разделим все части на $\pi$: $-1 \le \frac{1}{2} + 2n \le \frac{3}{2}$.

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей: $-1 - \frac{1}{2} \le 2n \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$, что дает $-\frac{3}{2} \le 2n \le 1$.

Разделим на 2: $-\frac{3}{4} \le n \le \frac{1}{2}$.

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=0$. При $n=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.

Для второй серии корней $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$:

Запишем неравенство: $-\pi \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$.

Разделим все части на $\pi$: $-1 \le \frac{7}{6} + 2k \le \frac{3}{2}$.

Вычтем $\frac{7}{6}$ из всех частей: $-1 - \frac{7}{6} \le 2k \le \frac{3}{2} - \frac{7}{6}$, что дает $-\frac{13}{6} \le 2k \le \frac{9-7}{6}$ или $-\frac{13}{6} \le 2k \le \frac{1}{3}$.

Разделим на 2: $-\frac{13}{12} \le k \le \frac{1}{6}$.

Целые числа $k$, удовлетворяющие этому неравенству, — это $k=-1$ и $k=0$.

При $k=-1$ получаем корень $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi-12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

При $k=0$ получаем корень $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, мы нашли три корня, принадлежащих заданному промежутку: $-\frac{5\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}$.