Страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.12. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $f(x) = x^2 + 4$, $x \in [0; +\infty)$;

2) $f(x) = x^2 - 1$, $x \in (-\infty; 0]$;

3) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$, $x \in (-\infty; 0]$.

1) $f(x) = x^2 + 4, x \in [0; +\infty)$

Чтобы найти функцию, обратную к данной, необходимо в уравнении $y = f(x)$ выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.
Исходное уравнение: $y = x^2 + 4$.
Область определения данной функции $D(f) = [0; +\infty)$. Найдем ее область значений $E(f)$. Поскольку $x \ge 0$, то $x^2 \ge 0$, и следовательно, $y = x^2 + 4 \ge 4$. Таким образом, $E(f) = [4; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.
Выразим $x$ из уравнения:
$x^2 = y - 4$
$x = \pm\sqrt{y - 4}$
Так как по условию $x \ge 0$, выбираем корень со знаком «+»: $x = \sqrt{y - 4}$.
Теперь меняем местами переменные $x$ и $y$ для получения обратной функции:
$y = \sqrt{x - 4}$.
Ответ: $y = \sqrt{x-4}$, с областью определения $x \in [4; +\infty)$.

2) $f(x) = x^2 - 1, x \in (-\infty; 0]$

Исходное уравнение: $y = x^2 - 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0]$. Найдем область значений $E(f)$. Поскольку $x \le 0$, то $x^2 \ge 0$, и следовательно, $y = x^2 - 1 \ge -1$. Таким образом, $E(f) = [-1; +\infty)$. Это будет область определения для обратной функции.
Выразим $x$ из уравнения:
$x^2 = y + 1$
$x = \pm\sqrt{y + 1}$
Так как по условию $x \le 0$, выбираем корень со знаком «-»: $x = -\sqrt{y + 1}$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$y = -\sqrt{x + 1}$.
Ответ: $y = -\sqrt{x+1}$, с областью определения $x \in [-1; +\infty)$.

3) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}, x \in (-\infty; 0]$

Исходное уравнение: $y = \sqrt[3]{x^2}$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0]$. Найдем область значений $E(f)$. Поскольку $x \le 0$, то $x^2 \ge 0$. Кубический корень из неотрицательного числа также неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(f) = [0; +\infty)$. Это будет область определения для обратной функции.
Выразим $x$ из уравнения:
Возведем обе части в куб: $y^3 = x^2$.
Извлечем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{y^3}$.
Так как по условию $x \le 0$, выбираем корень со знаком «-»: $x = -\sqrt{y^3}$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$y = -\sqrt{x^3}$.
Ответ: $y = -\sqrt{x^3}$, с областью определения $x \in [0; +\infty)$.