Страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях b имеет корни уравнение $\operatorname{tg} x = b$? $\operatorname{ctg} x = b$?

tg x = b?

Уравнение `$tg x = b$` имеет корни тогда и только тогда, когда число `$b$` принадлежит множеству значений функции `$y = \operatorname{tg} x$`.

Тригонометрическая функция тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: `$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$`. Область определения этой функции — все действительные числа `$x$`, кроме тех, при которых `$\cos x = 0$`, то есть `$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$`, где `$n \in \mathbb{Z}$`.

Множеством (или областью) значений функции `$y = \operatorname{tg} x$` является множество всех действительных чисел, то есть интервал `$(-\infty; +\infty)$`. Это можно увидеть из поведения функции на интервале `$(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$`: когда `$x$` стремится к `$\frac{\pi}{2}$` слева, `$\operatorname{tg} x$` стремится к `$+\infty$`; когда `$x$` стремится к `$-\frac{\pi}{2}$` справа, `$\operatorname{tg} x$` стремится к `$-\infty$`.

Поскольку функция тангенса может принимать любое действительное значение, то для любого числа `$b$` найдется такое значение `$x$`, что `$\operatorname{tg} x = b$`. Решение уравнения имеет вид `$x = \operatorname{arctg}(b) + \pi n$`, `$n \in \mathbb{Z}$`, и оно существует для любого действительного `$b$`.

Ответ: Уравнение `$\operatorname{tg} x = b$` имеет корни при любом значении `$b$`, то есть при `$b \in \mathbb{R}$`.

ctg x = b?

Аналогично предыдущему случаю, уравнение `$\operatorname{ctg} x = b$` имеет корни тогда и только тогда, когда число `$b$` принадлежит множеству значений функции `$y = \operatorname{ctg} x$`.

Тригонометрическая функция котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: `$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$`. Область определения этой функции — все действительные числа `$x$`, кроме тех, при которых `$\sin x = 0$`, то есть `$x \neq \pi k$`, где `$k \in \mathbb{Z}$`.

Множеством значений функции `$y = \operatorname{ctg} x$` также является множество всех действительных чисел, то есть интервал `$(-\infty; +\infty)$`. На интервале `$(0; \pi)$`, когда `$x$` стремится к `$0$` справа, `$\operatorname{ctg} x$` стремится к `$+\infty$`; когда `$x$` стремится к `$\pi$` слева, `$\operatorname{ctg} x$` стремится к `$-\infty$`.

Так как функция котангенса может принимать любое действительное значение, для любого числа `$b$` найдется такое значение `$x$`, что `$\operatorname{ctg} x = b$`. Решение этого уравнения имеет вид `$x = \operatorname{arcctg}(b) + \pi k$`, `$k \in \mathbb{Z}$`, и оно существует для любого действительного `$b$`.

Ответ: Уравнение `$\operatorname{ctg} x = b$` имеет корни при любом значении `$b$`, то есть при `$b \in \mathbb{R}$`.

2. Сколько корней имеет уравнение $tgx = b$? $ctgx = b$?

Сколько корней имеет уравнение tg x = b?

Рассмотрим уравнение $tg x = b$.

Функция тангенс, $y = tg x$, определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где косинус равен нулю, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $E(tg) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного числа $b$ всегда найдется значение аргумента $x$, для которого $tg x = b$.

Функция тангенс является периодической с основным периодом $\pi$. Это означает, что если $x_0$ является решением уравнения, то все числа вида $x_0 + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) также являются решениями.

На любом интервале длиной $\pi$, например, на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, уравнение $tg x = b$ имеет ровно один корень, который обозначается как $\arctan(b)$. Вследствие периодичности, все множество решений уравнения задается общей формулой: $x = \arctan(b) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $k$ может принимать любое целое значение (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), то для любого действительного числа $b$ уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: Уравнение $tg x = b$ при любом значении $b$ имеет бесконечное множество корней.

Сколько корней имеет уравнение ctg x = b?

Рассмотрим уравнение $ctg x = b$.

Функция котангенс, $y = ctg x$, определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где синус равен нулю, то есть $x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Область значений функции котангенс, как и у тангенса, — это множество всех действительных чисел, то есть $E(ctg) = (-\infty; +\infty)$. Следовательно, для любого действительного числа $b$ уравнение $ctg x = b$ всегда имеет решения.

Функция котангенс также является периодической с основным периодом $\pi$. Это значит, что если $x_0$ — корень уравнения, то и все числа вида $x_0 + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) будут корнями.

На любом интервале длиной $\pi$, например, на $(0; \pi)$, уравнение $ctg x = b$ имеет ровно один корень, который обозначается как $\text{arcctg}(b)$. Общая формула для всех решений имеет вид: $x = \text{arcctg}(b) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $k$ может быть любым целым числом, уравнение имеет бесконечное множество корней для любого действительного $b$.

Ответ: Уравнение $ctg x = b$ при любом значении $b$ имеет бесконечное множество корней.

3. Что называют арктангенсом числа b? арккотангенсом числа b?

Что называют арктангенсом числа b?

Арктангенс числа $b$ (обозначается как $\arctan b$ или $\text{arctg } b$) — это значение угла $\alpha$, выраженного в радианах, тангенс которого равен $b$, и который принадлежит строгому интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Иными словами, равенство $\alpha = \arctan b$ означает, что одновременно выполняются два условия:

1. $\tan \alpha = b$

2. $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Функция $y = \arctan b$ является обратной к функции $y = \tan x$ на ее главном промежутке монотонности $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Областью определения арктангенса является множество всех действительных чисел ($b \in \mathbb{R}$), а областью значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: Арктангенсом числа $b$ называют такое число $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $b$.

Что называют арккотангенсом числа b?

Арккотангенс числа $b$ (обозначается как $\text{arccot } b$ или $\text{arcctg } b$) — это значение угла $\alpha$, выраженного в радианах, котангенс которого равен $b$, и который принадлежит строгому интервалу $(0; \pi)$.

Таким образом, равенство $\alpha = \text{arccot } b$ означает, что одновременно выполняются два условия:

1. $\cot \alpha = b$

2. $0 < \alpha < \pi$

Функция $y = \text{arccot } b$ является обратной к функции $y = \cot x$ на ее главном промежутке монотонности $(0; \pi)$. Областью определения арккотангенса, как и арктангенса, является множество всех действительных чисел ($b \in \mathbb{R}$), а областью значений — интервал $(0; \pi)$.

Ответ: Арккотангенсом числа $b$ называют такое число $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $b$.

4. Напишите формулу корней уравнения $tg x = b$; $ctg x = b$.

$\operatorname{tg} x = b$

Уравнение $\operatorname{tg} x = b$ является одним из простейших тригонометрических уравнений. Функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает все действительные значения, поэтому данное уравнение имеет решения при любом значении $b \in \mathbb{R}$.

По определению, арктангенсом числа $b$ ($\operatorname{arctg} b$) называется угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $b$. Это значение является одним из корней уравнения.

Функция тангенса является периодической, её наименьший положительный период равен $\pi$. Это означает, что значения тангенса повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Следовательно, чтобы найти все корни уравнения, достаточно к одному из корней, $\operatorname{arctg} b$, прибавить все целые кратные периода $\pi$.

Таким образом, общая формула для всех корней уравнения имеет вид:

$x = \operatorname{arctg} b + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).

Ответ: $x = \operatorname{arctg} b + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\operatorname{ctg} x = b$

Уравнение $\operatorname{ctg} x = b$ также является простейшим тригонометрическим уравнением. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ принимает все действительные значения, поэтому данное уравнение имеет решения при любом значении $b \in \mathbb{R}$.

По определению, арккотангенсом числа $b$ ($\operatorname{arcctg} b$) называется угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $b$. Это значение является одним из корней уравнения.

Функция котангенса, как и тангенс, имеет наименьший положительный период, равный $\pi$. Поэтому все решения уравнения можно найти, прибавляя к одному частному решению, $\operatorname{arcctg} b$, все целые кратные периода $\pi$.

Таким образом, общая формула для всех корней уравнения имеет вид:

$x = \operatorname{arcctg} b + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).

Ответ: $x = \operatorname{arcctg} b + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

28.1. Решите уравнение:

1) $ \operatorname{tg} x = \sqrt{3}; $

2) $ \operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}; $

3) $ \operatorname{tg} x = -1; $

4) $ \operatorname{tg} x = 5; $

5) $ \operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}; $

6) $ \operatorname{ctg} x = -1; $

7) $ \operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}; $

8) $ \operatorname{ctg} x = \sqrt{7}; $

9) $ \operatorname{ctg} x = 0. $

1) tg x = √3;

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\operatorname{tg} x = a$. Общее решение для такого уравнения находится по формуле $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \sqrt{3}$. Подставляем это значение в формулу:
$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$.
Согласно таблице значений тригонометрических функций, $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, общее решение уравнения:

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) tg x = −√3/3;

Используем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{tg} x = a$: $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$x = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$.
Используем свойство нечетности арктангенса: $\arctan(-a) = -\arctan(a)$.
$x = -\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$.
Табличное значение $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решение:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) tg x = −1;

Решаем уравнение вида $\operatorname{tg} x = a$ по формуле $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При $a = -1$ получаем:
$x = \arctan(-1) + \pi n$.
Так как арктангенс — нечетная функция, $\arctan(-1) = -\arctan(1)$.
Из таблицы значений мы знаем, что $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Тогда решение уравнения:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) tg x = 5;

Применяем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{tg} x = a$: $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 5$. Число 5 не является табличным значением для тангенса, поэтому решение записывается через арктангенс.
$x = \arctan(5) + \pi n$.

Ответ: $x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) ctg x = √3/3;

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\operatorname{ctg} x = a$. Общее решение для такого уравнения имеет вид $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$x = \operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$.
Табличное значение $\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, решение:

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) ctg x = −1;

Используем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{ctg} x = a$: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При $a = -1$ получаем:
$x = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n$.
Используем свойство арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$.
$x = \pi - \operatorname{arcctg}(1) + \pi n$.
Из таблицы значений $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$x = \pi - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7) ctg x = −√3;

Решаем уравнение вида $\operatorname{ctg} x = a$ по формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\sqrt{3}$.
$x = \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$.
Используя свойство $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$, получаем:
$x = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi n$.
Табличное значение $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
$x = \pi - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8) ctg x = √7;

Применяем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{ctg} x = a$: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \sqrt{7}$. Число $\sqrt{7}$ не является табличным значением для котангенса, поэтому решение записывается через арккотангенс.
$x = \operatorname{arcctg}(\sqrt{7}) + \pi n$.

Ответ: $x = \operatorname{arcctg}(\sqrt{7}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

9) ctg x = 0;

Это частный случай уравнения $\operatorname{ctg} x = a$. Решение находится по общей формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При $a=0$ получаем:
$x = \operatorname{arcctg}(0) + \pi n$.
Значение арккотангенса нуля равно $\frac{\pi}{2}$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

28.2. Решите уравнение:

1) $tg x = 1$;

2) $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

3) $tg x = -\sqrt{3}$;

4) $tg x = -2$;

5) $ctg x = \sqrt{3}$;

6) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

7) $tg x = 0$.

1) Общее решение уравнения вида $tg x = a$ записывается формулой $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для уравнения $tg x = 1$, имеем $a = 1$.
Значение арктангенса от 1 равно $\frac{\pi}{4}$, так как тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1.
Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для уравнения $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем общую формулу $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Значение $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Для уравнения $tg x = -\sqrt{3}$, имеем $a = -\sqrt{3}$.
Используем формулу $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и свойство нечетности арктангенса: $\arctan(-a) = -\arctan(a)$.
$\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Таким образом, решение уравнения:
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Для уравнения $tg x = -2$, имеем $a = -2$.
Так как -2 не является стандартным табличным значением для тангенса, решение записывается с помощью функции арктангенс.
$x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, решение можно записать в виде:
$x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) Общее решение уравнения вида $ctg x = a$ записывается формулой $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для уравнения $ctg x = \sqrt{3}$, имеем $a = \sqrt{3}$.
Значение $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) Для уравнения $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем формулу $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и свойство для арккотангенса отрицательного аргумента: $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$.
$\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Таким образом, решение уравнения:
$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7) Уравнение $tg x = 0$ является частным случаем.
Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю ($\sin x = 0$), а косинус не равен нулю.
Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\cos x = \pm 1 \neq 0$, поэтому условие выполняется.
Решение также можно найти по общей формуле: $x = \arctan(0) + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.