Номер 2, страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Сколько корней имеет уравнение $tgx = b$? $ctgx = b$?

Сколько корней имеет уравнение tg x = b?

Рассмотрим уравнение $tg x = b$.

Функция тангенс, $y = tg x$, определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где косинус равен нулю, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $E(tg) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного числа $b$ всегда найдется значение аргумента $x$, для которого $tg x = b$.

Функция тангенс является периодической с основным периодом $\pi$. Это означает, что если $x_0$ является решением уравнения, то все числа вида $x_0 + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) также являются решениями.

На любом интервале длиной $\pi$, например, на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, уравнение $tg x = b$ имеет ровно один корень, который обозначается как $\arctan(b)$. Вследствие периодичности, все множество решений уравнения задается общей формулой: $x = \arctan(b) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $k$ может принимать любое целое значение (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), то для любого действительного числа $b$ уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: Уравнение $tg x = b$ при любом значении $b$ имеет бесконечное множество корней.

Сколько корней имеет уравнение ctg x = b?

Рассмотрим уравнение $ctg x = b$.

Функция котангенс, $y = ctg x$, определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где синус равен нулю, то есть $x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Область значений функции котангенс, как и у тангенса, — это множество всех действительных чисел, то есть $E(ctg) = (-\infty; +\infty)$. Следовательно, для любого действительного числа $b$ уравнение $ctg x = b$ всегда имеет решения.

Функция котангенс также является периодической с основным периодом $\pi$. Это значит, что если $x_0$ — корень уравнения, то и все числа вида $x_0 + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) будут корнями.

На любом интервале длиной $\pi$, например, на $(0; \pi)$, уравнение $ctg x = b$ имеет ровно один корень, который обозначается как $\text{arcctg}(b)$. Общая формула для всех решений имеет вид: $x = \text{arcctg}(b) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $k$ может быть любым целым числом, уравнение имеет бесконечное множество корней для любого действительного $b$.

Ответ: Уравнение $ctg x = b$ при любом значении $b$ имеет бесконечное множество корней.