Номер 28.4, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.4. Решите уравнение:

1) $tg \frac{3}{5}x = 0;$

2) $ctg \frac{x}{2} = -\sqrt{3};$

3) $ctg \frac{3}{2}x = 5.$

1) Решим уравнение $tg\frac{3}{5}x = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения вида $tg(t) = 0$. Общее решение для такого уравнения: $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В нашем случае аргумент тангенса $t = \frac{3}{5}x$.

Приравниваем аргумент к общему решению:

$\frac{3}{5}x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{5}{3}$:

$x = \pi n \cdot \frac{5}{3}$

$x = \frac{5\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{5\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $ctg\frac{x}{2} = -\sqrt{3}$.

Общее решение уравнения вида $ctg(t) = a$ дается формулой $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = \frac{x}{2}$ и $a = -\sqrt{3}$.

Найдем значение арккотангенса. Используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$:

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Теперь подставим найденное значение в общее решение для аргумента $t$:

$\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot \left(\frac{5\pi}{6} + \pi n\right)$

$x = \frac{2 \cdot 5\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $ctg\frac{3}{2}x = 5$.

Используем общую формулу для решения уравнений с котангенсом: $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{3}{2}x$ и $a = 5$.

Число 5 не является стандартным табличным значением для котангенса, поэтому значение $arcctg(5)$ оставляем в символьном виде.

Составляем уравнение для аргумента:

$\frac{3}{2}x = arcctg(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для того чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$:

$x = \frac{2}{3} \cdot (arcctg(5) + \pi n)$

$x = \frac{2}{3}arcctg(5) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}arcctg(5) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.