Номер 28.10, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.10. Найдите сумму корней уравнения $tg \frac{x}{2} = \sqrt{3}$, принадлежащих промежутку $[-2\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

Сначала решим тригонометрическое уравнение $\text{tg}\frac{x}{2} = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения вида $\text{tg}(a) = b$ записывается как $a = \text{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{x}{2}$ и $b = \sqrt{3}$. Мы знаем, что $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя эти значения, получаем:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (\frac{\pi}{3} + \pi n) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти все корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-2\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-2\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются):

$-2 \le \frac{2}{3} + 2n \le \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{2}{3}$ из всех частей неравенства:

$-2 - \frac{2}{3} \le 2n \le \frac{3}{2} - \frac{2}{3}$

$-\frac{6}{3} - \frac{2}{3} \le 2n \le \frac{9}{6} - \frac{4}{6}$

$-\frac{8}{3} \le 2n \le \frac{5}{6}$

Теперь разделим все части на 2:

$-\frac{8}{3 \cdot 2} \le n \le \frac{5}{6 \cdot 2}$

$-\frac{4}{3} \le n \le \frac{5}{12}$

В виде десятичных дробей это неравенство выглядит так: $-1,33... \le n \le 0,41...$.

Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию, это $n = -1$ и $n = 0$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого из этих $n$:

1. При $n = -1$:

$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1) = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$.

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2\pi; \frac{3\pi}{2}]$. $-2\pi = -\frac{6\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{4,5\pi}{3}$. Так как $-\frac{6\pi}{3} \le -\frac{4\pi}{3} \le \frac{4,5\pi}{3}$, корень принадлежит промежутку.

2. При $n = 0$:

$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(0) = \frac{2\pi}{3}$.

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Так как $-2\pi \le \frac{2\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$, этот корень также принадлежит промежутку.

Итак, мы нашли два корня, принадлежащих заданному промежутку: $-\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Найдем их сумму:

Сумма = $x_1 + x_2 = -\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-4\pi + 2\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.