Номер 4, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Назовите промежутки знакопостоянства функции $y = \arccos x; y = \arcsin x, y = \operatorname{arctg} x, y = \operatorname{arcctg} x.$

$y = \arccos x$
Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на которых функция принимает значения только одного знака (положительные или отрицательные).
Область определения функции $y = \arccos x$ есть отрезок $D(y) = [-1; 1]$.
Область значений функции — отрезок $E(y) = [0; \pi]$.
Поскольку все значения функции неотрицательны, функция $y = \arccos x$ не имеет промежутков, где она отрицательна.
Найдем значение $x$, при котором функция равна нулю: $y = 0$.
$\arccos x = 0 \implies x = \cos(0) = 1$.
Таким образом, функция положительна на всей области определения, за исключением точки $x=1$, где она равна нулю.
Ответ: $y > 0$ при $x \in [-1; 1)$.

$y = \arcsin x$
Область определения функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $D(y) = [-1; 1]$.
Область значений функции — отрезок $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Найдем значение $x$, при котором функция равна нулю: $y = 0$.
$\arcsin x = 0 \implies x = \sin(0) = 0$.
Функция $y = \arcsin x$ является возрастающей на всей области определения.
Следовательно, при $x > 0$ значения функции будут положительными: $y > 0$. Учитывая область определения, это промежуток $x \in (0; 1]$.
При $x < 0$ значения функции будут отрицательными: $y < 0$. Учитывая область определения, это промежуток $x \in [-1; 0)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 1]$; $y < 0$ при $x \in [-1; 0)$.

$y = \operatorname{arctg} x$
Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — вся числовая прямая $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции — интервал $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Найдем значение $x$, при котором функция равна нулю: $y = 0$.
$\operatorname{arctg} x = 0 \implies x = \operatorname{tg}(0) = 0$.
Функция $y = \operatorname{arctg} x$ является возрастающей на всей области определения.
Следовательно, при $x > 0$ значения функции будут положительными: $y > 0$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.
При $x < 0$ значения функции будут отрицательными: $y < 0$ на промежутке $x \in (-\infty; 0)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

$y = \operatorname{arcctg} x$
Область определения функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — вся числовая прямая $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции — интервал $E(y) = (0; \pi)$.
Поскольку все значения функции принадлежат интервалу $(0; \pi)$, они строго положительны.
Следовательно, функция $y = \operatorname{arcctg} x$ положительна на всей своей области определения. Промежутков, где функция отрицательна или равна нулю, не существует.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.