Номер 28.11, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.11. Графики каких из данных функций симметричны относительно оси ординат:

1) $f(x) = \frac{4 - x^2}{\cos 2x}$;

2) $f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$;

3) $f(x) = \sqrt[4]{2 - x} + \sqrt[4]{2 + x}$;

4) $f(x) = x^2 \operatorname{tg} x? $

График функции симметричен относительно оси ординат, если функция является четной. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется два условия:

1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на четность.

1) $f(x) = \frac{4 - x^2}{\cos 2x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\cos 2x \neq 0$. Это означает, что $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. Данная область определения симметрична относительно начала координат.

Теперь проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \frac{4 - (-x)^2}{\cos(2(-x))} = \frac{4 - x^2}{\cos(-2x)}$

Поскольку функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, имеем $\cos(-2x) = \cos(2x)$.

Таким образом, $f(-x) = \frac{4 - x^2}{\cos 2x} = f(x)$.

Условие четности выполняется, значит, график этой функции симметричен относительно оси ординат.

Ответ: график функции симметричен относительно оси ординат.

2) $f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

Область определения функции задается условием $1 + \cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq -1$. Это означает, что $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{1 + \cos(-x)}$

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (нечетная) и $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (четная).

$f(-x) = \frac{-\sin x}{1 + \cos x} = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат, а не оси ординат.

Ответ: график функции не симметричен относительно оси ординат.

3) $f(x) = \sqrt[4]{2 - x} + \sqrt[4]{2 + x}$

Область определения функции находится из условия, что подкоренные выражения корня четной степени должны быть неотрицательными:

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$

$2 + x \ge 0 \implies x \ge -2$

Следовательно, область определения $D(f) = [-2; 2]$. Этот отрезок симметричен относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \sqrt[4]{2 - (-x)} + \sqrt[4]{2 + (-x)} = \sqrt[4]{2 + x} + \sqrt[4]{2 - x}$

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется, поэтому $f(-x) = f(x)$.

Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: график функции симметричен относительно оси ординат.

4) $f(x) = x^2 \operatorname{tg} x$

Область определения функции тангенс: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \operatorname{tg}(-x)$

Мы знаем, что $(-x)^2 = x^2$ и $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ (тангенс - нечетная функция).

$f(-x) = x^2 (-\operatorname{tg} x) = -x^2 \operatorname{tg} x = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: график функции не симметричен относительно оси ординат.

Итоговый вывод: графики функций 1) и 3) симметричны относительно оси ординат.