Номер 28.8, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.8. Сколько корней уравнения $\text{ctg} \frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ принадлежат промежутку $[ -\frac{\pi}{2}; 2\pi ]?$

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\text{ctg}\frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение для уравнения $\text{ctg}(y) = a$ записывается в виде $y = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).В данном уравнении $y = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдем значение арккотангенса. Известно, что $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$. Для отрицательного аргумента используется формула $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.Следовательно, $\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь мы можем записать решение для $\frac{x}{3}$:$\frac{x}{3} = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части равенства на 3:$x = 3 \cdot (\frac{2\pi}{3} + \pi n)$$x = 2\pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это общее решение уравнения. Далее нам нужно найти, какие из этих корней принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Для этого составим и решим двойное неравенство:$-\frac{\pi}{2} \le x \le 2\pi$.

Подставим в него найденное выражение для $x$:$-\frac{\pi}{2} \le 2\pi + 3\pi n \le 2\pi$.

Для упрощения разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются):$-\frac{1}{2} \le 2 + 3n \le 2$.

Вычтем 2 из всех частей неравенства:$-\frac{1}{2} - 2 \le 3n \le 2 - 2$$-\frac{5}{2} \le 3n \le 0$.

Теперь разделим все части на 3:$-\frac{5}{6} \le n \le 0$.

Поскольку $n$ должно быть целым числом, нам нужно найти все целые $n$, удовлетворяющие этому неравенству. В промежутке от $-\frac{5}{6}$ (приблизительно -0.83) до 0 находится только одно целое число: $n = 0$.

Таким образом, только при $n=0$ корень уравнения попадает в заданный промежуток. Найдем этот корень:$x = 2\pi + 3\pi \cdot 0 = 2\pi$.

Корень $x = 2\pi$ действительно принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$, так как он является его правой границей.

Следовательно, на заданном промежутке уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1.