Номер 28.6, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.6. Решите уравнение:

1) $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1;$

2) $\text{ctg}(4 - 3x) = 2;$

3) $3\text{tg}(3x + 1) - \sqrt{3} = 0.$

1) Дано уравнение $\operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Это уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида $\operatorname{tg}(y) = a$. Его общее решение находится по формуле $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В данном случае аргумент тангенса $y = x + \frac{\pi}{4}$, а значение $a = 1$.

Найдем значение арктангенса: $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим известные значения в общую формулу решения:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Теперь выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{4}$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\operatorname{ctg}(4 - 3x) = 2$.

Это уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида $\operatorname{ctg}(y) = a$. Его общее решение находится по формуле $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае аргумент котангенса $y = 4 - 3x$, а значение $a = 2$.

Подставим известные значения в общую формулу решения:

$4 - 3x = \operatorname{arcctg}(2) + \pi n$

Теперь выразим $x$. Сначала изолируем слагаемое с $x$:

$-3x = \operatorname{arcctg}(2) - 4 + \pi n$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x = \frac{\operatorname{arcctg}(2) - 4 + \pi n}{-3}$

Упростим выражение, разделив каждый член числителя на -3:

$x = -\frac{\operatorname{arcctg}(2)}{3} + \frac{4}{3} - \frac{\pi n}{3}$

Запишем в более привычном порядке:

$x = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\operatorname{arcctg}(2) - \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\operatorname{arcctg}(2) - \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $3\operatorname{tg}(3x + 1) - \sqrt{3} = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду $\operatorname{tg}(y) = a$.

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$3\operatorname{tg}(3x + 1) = \sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\operatorname{tg}(3x + 1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь у нас есть простейшее тригонометрическое уравнение, где $y = 3x + 1$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение: $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значение арктангенса: $\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим значения в формулу:

$3x + 1 = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$. Сначала перенесем 1 в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{6} - 1 + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\frac{\pi}{6} - 1 + \pi n}{3}$

Упростим выражение:

$x = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.