Номер 28.5, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.5. Решите уравнение:

1) $tg\left(3x - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) $tg(3 - 2x) = 2$;

3) $\sqrt{3} \text{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 = 0$;

4) $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Решим уравнение $tg(3x - \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение для уравнения вида $tg(y) = a$ записывается как $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае аргумент $y = 3x - \frac{\pi}{12}$, а значение $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Мы знаем, что $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$3x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{12}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$3x = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

$3x = \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $tg(3 - 2x) = 2$.

Используем ту же общую формулу $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y = 3 - 2x$ и $a = 2$. Так как 2 не является табличным значением для тангенса, решение будет содержать арктангенс этого числа.

$3 - 2x = arctg(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$-2x = arctg(2) - 3 + \pi n$

Умножим обе части на -1. При этом, поскольку $n$ пробегает все целые числа, мы можем заменить $-\pi n$ на $+\pi k$, где $k = -n$ также пробегает все целые числа.

$2x = 3 - arctg(2) - \pi n = 3 - arctg(2) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{3 - arctg(2)}{2} + \frac{\pi k}{2} = \frac{3}{2} - \frac{arctg(2)}{2} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}arctg(2) + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{3} ctg(5x + \frac{\pi}{3}) + 3 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить котангенс:

$\sqrt{3} ctg(5x + \frac{\pi}{3}) = -3$

$ctg(5x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим правую часть, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$ctg(5x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Общее решение для уравнения вида $ctg(y) = a$ записывается как $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 5x + \frac{\pi}{3}$ и $a = -\sqrt{3}$. Мы знаем, что $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу:

$5x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$5x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

$5x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$

$5x = \frac{3\pi}{6} + \pi n$

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $ctg(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используем общую формулу для котангенса $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Мы знаем, что $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$. Сначала изолируем член с $x$:

$-\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{x}{3} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$-\frac{x}{3} = \frac{\pi}{12} + \pi n$

Умножим обе части на -3:

$x = -3 \cdot (\frac{\pi}{12} + \pi n) = -\frac{3\pi}{12} - 3\pi n$

Упростим и заменим $-3\pi n$ на $+3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.