Номер 28.9, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.9. Найдите сумму корней уравнения $ctg2x = -\sqrt{3}$, принадлежащих про-межутку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$.

Сначала решим тригонометрическое уравнение $ctg(2x) = -\sqrt{3}$.

Общее решение уравнения вида $ctg(y) = a$ записывается формулой $y = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

В данном уравнении $y = 2x$ и $a = -\sqrt{3}$. Найдем значение арккотангенса:

$\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставим это значение в формулу общего решения:

$2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выразим $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Далее необходимо найти все корни, которые принадлежат промежутку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-\pi \le \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \le \frac{\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-1 \le \frac{5}{12} + \frac{n}{2} \le \frac{1}{2}$

Вычтем $\frac{5}{12}$ из всех частей неравенства:

$-1 - \frac{5}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{1}{2} - \frac{5}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{12}{12} - \frac{5}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{6}{12} - \frac{5}{12}$

$-\frac{17}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{1}{12}$

Умножим все части неравенства на 2:

$-\frac{17 \cdot 2}{12} \le n \le \frac{1 \cdot 2}{12}$

$-\frac{17}{6} \le n \le \frac{1}{6}$

Представим границы в виде десятичных дробей:

$-2,8\overline{3} \le n \le 0,1\overline{6}$

Поскольку $n$ — целое число, то в этом диапазоне находятся следующие значения: $n = -2$, $n = -1$, $n = 0$.

Теперь найдем соответствующие этим значениям $n$ корни уравнения:

• При $n = -2$: $x_1 = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi(-2)}{2} = \frac{5\pi}{12} - \pi = \frac{5\pi - 12\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12}$.
• При $n = -1$: $x_2 = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi - 6\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
• При $n = 0$: $x_3 = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi(0)}{2} = \frac{5\pi}{12}$.

Мы нашли все корни, принадлежащие заданному промежутку: $-\frac{7\pi}{12}$, $-\frac{\pi}{12}$ и $\frac{5\pi}{12}$.

Осталось найти их сумму:

Сумма = $x_1 + x_2 + x_3 = \left(-\frac{7\pi}{12}\right) + \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{5\pi}{12} = \frac{-7\pi - \pi + 5\pi}{12} = \frac{-3\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.