Номер 1, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какова область определения функции $y = \arccos x? y = \arcsin x? y = \operatorname{arctg} x? y = \operatorname{arcctg} x?$

Область определения функции (или область допустимых значений аргумента) — это множество всех значений переменной $x$, при которых функция $y = f(x)$ определена (имеет смысл).

y = arccos x?

Функция $y = \arccos x$ (арккосинус) является обратной к тригонометрической функции $y = \cos t$. По определению, область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Функция косинуса $y = \cos t$ принимает значения на отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент $x$ для функции $y = \arccos x$ должен принадлежать этому же отрезку, то есть должно выполняться неравенство $-1 \le x \le 1$.

Ответ: Область определения функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$.

y = arcsin x?

Функция $y = \arcsin x$ (арксинус) является обратной к функции $y = \sin t$. Область значений функции синуса $y = \sin t$ — это отрезок $[-1, 1]$. Так как область определения обратной функции есть область значений прямой функции, то область определения для $y = \arcsin x$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Ответ: Область определения функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$.

y = arctg x?

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс) является обратной к функции $y = \operatorname{tg} t$. Областью значений функции тангенса $y = \operatorname{tg} t$ является множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty, +\infty)$. Соответственно, область определения для обратной функции $y = \operatorname{arctg} x$ также является множеством всех действительных чисел.

Ответ: Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

y = arcctg x?

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) является обратной к функции $y = \operatorname{ctg} t$. Область значений функции котангенса $y = \operatorname{ctg} t$, так же как и у тангенса, — это множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty, +\infty)$. Поэтому область определения для обратной функции $y = \operatorname{arcctg} x$ также охватывает все действительные числа.

Ответ: Область определения функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.