Номер 5, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Возрастающей или убывающей является функция $y = \arccos x?$

$y = \arcsin x? y = \text{arctg } x? y = \text{arcctg } x?$

Для определения характера монотонности функции (возрастает она или убывает) найдем ее производную и определим знак этой производной на всей области определения функции. Если производная $y'$ положительна ($y' > 0$), функция возрастает. Если производная отрицательна ($y' < 0$), функция убывает.

$y = \arccos x$

Найдем производную функции: $y' = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Производная определена на интервале $(-1, 1)$. На этом интервале знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ всегда положителен. Так как в числителе стоит $-1$, вся дробь будет отрицательной: $y' < 0$ при любом $x \in (-1, 1)$. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: убывающая.

$y = \arcsin x$

Найдем производную функции: $y' = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Область определения функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Производная определена на интервале $(-1, 1)$. На этом интервале знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ всегда положителен. Числитель равен $1$ (положительное число). Следовательно, производная $y'$ всегда положительна: $y' > 0$ при любом $x \in (-1, 1)$. Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: возрастающая.

$y = \operatorname{arctg} x$

Найдем производную функции: $y' = (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — вся числовая прямая, $x \in (-\infty, +\infty)$. Знаменатель $1+x^2$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$. Числитель равен $1$. Следовательно, производная $y'$ всегда положительна: $y' > 0$ при любом $x$. Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: возрастающая.

$y = \operatorname{arcctg} x$

Найдем производную функции: $y' = (\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

Область определения функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — вся числовая прямая, $x \in (-\infty, +\infty)$. Знаменатель $1+x^2$ всегда положителен. Так как в числителе стоит $-1$, вся дробь будет отрицательной: $y' < 0$ при любом $x$. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: убывающая.