Номер 29.4, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) $\operatorname{tg} (\arccos 1)$;

2) $\sin \left(\arccos \frac{1}{2}\right)$;

3) $\cos \left(2\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

4) $\operatorname{ctg} \left(2\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

5) $\operatorname{tg}(2\arccos (-1))$;

6) $\cos \left(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Вычислим $\operatorname{tg}(\arccos 1)$.

По определению арккосинуса, $\arccos 1$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = 1$. Этим углом является $\alpha = 0$.

Следовательно, $\arccos 1 = 0$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\operatorname{tg}(\arccos 1) = \operatorname{tg}(0) = 0$.

Ответ: 0

2) Вычислим $\sin(\arccos\frac{1}{2})$.

По определению, $\arccos\frac{1}{2}$ — это угол $\alpha \in [0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sin(\arccos\frac{1}{2}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Вычислим $\cos(2\arccos\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Сначала найдем значение $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это угол $\alpha \in [0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в выражение под знаком косинуса:

$2\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь вычислим косинус полученного угла:

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: 0

4) Вычислим $\operatorname{ctg}(2\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Сначала найдем значение $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}$. Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

По определению арксинуса, $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, такой что $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в выражение под знаком котангенса:

$2\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь вычислим котангенс полученного угла:

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\pi/2)}{\sin(\pi/2)} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: 0

5) Вычислим $\operatorname{tg}(2\arccos(-1))$.

Сначала найдем значение $\arccos(-1)$. Это угол $\alpha \in [0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = -1$. Этим углом является $\alpha = \pi$.

Подставим это значение в выражение под знаком тангенса:

$2\arccos(-1) = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Теперь вычислим тангенс полученного угла:

$\operatorname{tg}(2\pi) = 0$.

Ответ: 0

6) Вычислим $\cos(\arccos(-\frac{1}{2}) + \frac{\pi}{3})$.

Сначала найдем значение $\arccos(-\frac{1}{2})$. Это угол $\alpha \in [0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим это значение в выражение в скобках:

$\arccos(-\frac{1}{2}) + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$.

Теперь вычислим косинус полученного угла:

$\cos(\pi) = -1$.

Ответ: -1