Номер 29.11, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arccos\sqrt{x + 2};$

2) $y = \sqrt{\arcsin x}.$

1) $y = \arccos\sqrt{x} + 2$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, сначала определим ее область определения $D(y)$.

Функция состоит из трех частей: квадратного корня, арккосинуса и сложения с константой.
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1: $-1 \le \sqrt{x} \le 1$.

Поскольку $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, второе неравенство упрощается до $0 \le \sqrt{x} \le 1$.

Возведя все части этого неравенства в квадрат, получаем $0 \le x \le 1$.

Объединяя условия $x \ge 0$ и $0 \le x \le 1$, получаем, что область определения функции — это отрезок $D(y) = [0, 1]$.

Теперь найдем область значений функции $E(y)$.

Рассмотрим промежуточную функцию $t = \sqrt{x}$. На отрезке $x \in [0, 1]$ значения $t$ также принадлежат отрезку $[0, 1]$.

Далее рассмотрим функцию $z = \arccos t$. Эта функция является монотонно убывающей на всей своей области определения, включая отрезок $[0, 1]$. Следовательно, свое наибольшее значение она принимает при наименьшем значении аргумента $t$, а наименьшее — при наибольшем.

Наибольшее значение $z$ на отрезке $t \in [0, 1]$: $z_{max} = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.
Наименьшее значение $z$ на отрезке $t \in [0, 1]$: $z_{min} = \arccos(1) = 0$.

Таким образом, область значений функции $z = \arccos(\sqrt{x})$ есть отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Исходная функция $y = \arccos\sqrt{x} + 2$. Чтобы найти ее значения, нужно к значениям $z$ прибавить 2.

Наименьшее значение функции: $y_{min} = z_{min} + 2 = 0 + 2 = 2$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = z_{max} + 2 = \frac{\pi}{2} + 2$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение $\frac{\pi}{2} + 2$.

2) $y = \sqrt{\arcsin x}$

Найдем область определения функции $D(y)$.

1. Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от -1 до 1: $-1 \le x \le 1$.
2. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $\arcsin x \ge 0$.

Функция арксинус неотрицательна, когда ее аргумент неотрицателен, то есть при $x \ge 0$.

Объединяя условия $-1 \le x \le 1$ и $x \ge 0$, получаем, что область определения функции — это отрезок $D(y) = [0, 1]$.

Теперь найдем область значений функции $E(y)$.

Рассмотрим промежуточную функцию $t = \arcsin x$. Эта функция является монотонно возрастающей. На отрезке $x \in [0, 1]$ она принимает значения от $\arcsin 0$ до $\arcsin 1$.
$t_{min} = \arcsin 0 = 0$.
$t_{max} = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, область значений функции $t = \arcsin x$ на отрезке $x \in [0, 1]$ есть отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Исходная функция $y = \sqrt{t}$. Функция квадратного корня также является монотонно возрастающей. Следовательно, для нахождения ее наименьшего и наибольшего значений на отрезке $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$, нужно подставить в нее концы этого отрезка.

Наименьшее значение функции: $y_{min} = \sqrt{t_{min}} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = \sqrt{t_{max}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$.