Номер 29.10, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arccos x + \pi;$

2) $y = \arcsin x - 2;$

3) $y = 3\arccos x + \frac{\pi}{6}.$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данных функций необходимо использовать известные области значений для основных обратных тригонометрических функций: арксинуса и арккосинуса.

• Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0; \pi]$. Следовательно, $0 \le \arccos x \le \pi$.
• Область значений функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.

Мы будем преобразовывать эти неравенства, чтобы найти область значений для каждой из заданных функций.

1) $y = \arccos x + \pi$

Исходим из области значений функции арккосинус:

$0 \le \arccos x \le \pi$

Чтобы найти область значений для функции $y = \arccos x + \pi$, прибавим константу $\pi$ ко всем частям двойного неравенства:

$0 + \pi \le \arccos x + \pi \le \pi + \pi$

Выполняем сложение:

$\pi \le y \le 2\pi$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $\pi$ (достигается при $\arccos x = 0$, то есть при $x=1$), а наибольшее значение равно $2\pi$ (достигается при $\arccos x = \pi$, то есть при $x=-1$).

Ответ: наименьшее значение: $\pi$, наибольшее значение: $2\pi$.

2) $y = \arcsin x - 2$

Исходим из области значений функции арксинус:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений для функции $y = \arcsin x - 2$, вычтем константу 2 из всех частей двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - 2 \le \arcsin x - 2 \le \frac{\pi}{2} - 2$

$-\frac{\pi}{2} - 2 \le y \le \frac{\pi}{2} - 2$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-\frac{\pi}{2} - 2$ (достигается при $\arcsin x = -\frac{\pi}{2}$, то есть при $x=-1$), а наибольшее значение равно $\frac{\pi}{2} - 2$ (достигается при $\arcsin x = \frac{\pi}{2}$, то есть при $x=1$).

Ответ: наименьшее значение: $-\frac{\pi}{2} - 2$, наибольшее значение: $\frac{\pi}{2} - 2$.

3) $y = 3\arccos x + \frac{\pi}{6}$

Снова используем область значений функции арккосинус:

$0 \le \arccos x \le \pi$

Сначала умножим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \cdot 0 \le 3\arccos x \le 3 \cdot \pi$

$0 \le 3\arccos x \le 3\pi$

Теперь прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям полученного неравенства:

$0 + \frac{\pi}{6} \le 3\arccos x + \frac{\pi}{6} \le 3\pi + \frac{\pi}{6}$

Выполняем вычисления:

$\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{19\pi}{6}$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $\frac{\pi}{6}$ (достигается при $\arccos x = 0$, то есть при $x=1$), а наибольшее значение равно $\frac{19\pi}{6}$ (достигается при $\arccos x = \pi$, то есть при $x=-1$).

Ответ: наименьшее значение: $\frac{\pi}{6}$, наибольшее значение: $\frac{19\pi}{6}$.