Номер 29.9, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$;

2) $y = \arccos x + 2$;

3) $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{3}$;

4) $y = \frac{1}{\arccos x}$.

1) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$

Областью значений функции арксинус является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. То есть, для любого $x$ из области определения функции ($x \in [-1, 1]$) выполняется двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений для заданной функции, прибавим ко всем частям этого неравенства $\frac{\pi}{2}$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin x + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

Выполним сложение:

$0 \le y \le \pi$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 0 (достигается при $x = -1$), а наибольшее значение равно $\pi$ (достигается при $x = 1$).

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\pi$.

2) $y = \arccos x + 2$

Областью значений функции арккосинус является отрезок $[0, \pi]$. То есть, для любого $x$ из области определения функции ($x \in [-1, 1]$) выполняется двойное неравенство:

$0 \le \arccos x \le \pi$

Чтобы найти область значений для заданной функции, прибавим ко всем частям этого неравенства 2:

$0 + 2 \le \arccos x + 2 \le \pi + 2$

$2 \le y \le \pi + 2$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 2 (достигается при $x = 1$), а наибольшее значение равно $\pi + 2$ (достигается при $x = -1$).

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение $\pi + 2$.

3) $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{3}$

Областью значений функции арксинус является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Сначала умножим все части неравенства на 2 (знаки неравенства не меняются, так как 2 > 0):

$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2\arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi$

Теперь вычтем из всех частей неравенства $\frac{\pi}{3}$:

$-\pi - \frac{\pi}{3} \le 2\arcsin x - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{3\pi+\pi}{3} \le y \le \frac{3\pi-\pi}{3}$

$-\frac{4\pi}{3} \le y \le \frac{2\pi}{3}$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-\frac{4\pi}{3}$ (достигается при $x = -1$), а наибольшее значение равно $\frac{2\pi}{3}$ (достигается при $x = 1$).

Ответ: наименьшее значение $-\frac{4\pi}{3}$, наибольшее значение $\frac{2\pi}{3}$.

4) $y = \frac{1}{\arccos x}$

Область определения функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Для заданной функции знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $\arccos x \neq 0$. Это условие выполняется при $x \neq 1$. Следовательно, область определения данной функции $D(y) = [-1, 1)$.

Найдем, какие значения принимает $\arccos x$ на промежутке $[-1, 1)$. Функция $z = \arccos x$ является убывающей. Ее значения на промежутке $x \in [-1, 1)$ лежат в промежутке $(\arccos 1, \arccos(-1)]$.

Поскольку $\arccos 1 = 0$ и $\arccos(-1) = \pi$, получаем, что знаменатель $\arccos x$ принимает все значения из промежутка $(0, \pi]$.

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{t}$, где $t = \arccos x$ и $t \in (0, \pi]$.

Функция $y = \frac{1}{t}$ является убывающей на промежутке $(0, \infty)$. Следовательно, свое наименьшее значение она примет при наибольшем значении $t$, а наибольшего значения у нее не будет, так как $t$ может быть сколь угодно близким к нулю.

Наибольшее значение $t = \pi$ (при $x=-1$). При этом $y$ принимает наименьшее значение:

$y_{min} = \frac{1}{\pi}$

Когда $x \to 1^-$, то $t = \arccos x \to 0^+$. При этом $y = \frac{1}{t} \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения у функции не существует.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{\pi}$, наибольшего значения не существует.