Номер 29.2, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.2. Верно ли равенство:

1) $\arcsin \pi = 0;$

2) $\arcsin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$

3) $\arcsin 1 + \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6};$

4) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2};$

5) $\arcsin 1 \cdot \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi^2}{12};$

6) $\arccos 0 = -\frac{\pi}{2};$

7) $\arccos 1 = 2\pi;$

8) $\arccos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2};$

9) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2};$

10) $\arccos^2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{25\pi^2}{36};$

11) $\operatorname{arcctg} \frac{\pi}{2} = 0;$

12) $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{2}?$

1) Область определения функции арксинус — это отрезок `[-1, 1]`. Поскольку `\pi \approx 3.14159`, то `\pi > 1`, следовательно, значение `\pi` не входит в область определения `\arcsin(x)`. Таким образом, выражение `\arcsin \pi` не имеет смысла. Ответ: неверно.

2) Равенство `\arcsin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}` было бы верным, если бы `\sin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}`. Однако, `\sin \frac{1}{2} \approx 0.479`, а `\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.523`. Эти значения не равны. Правильное равенство выглядит так: `\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}`. Ответ: неверно.

3) Вычислим каждое слагаемое по отдельности. По определению, `\arcsin 1` — это угол из промежутка `[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]`, синус которого равен 1, то есть `\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}`. `\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})` — это угол из того же промежутка, синус которого равен `-\frac{\sqrt{3}}{2}`, то есть `\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}`. Сложим полученные значения: `\frac{\pi}{2} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

4) Вычислим значения слагаемых. `\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}` (поскольку `\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}` и `\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]`). `\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}` (поскольку `\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}` и `\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]`). Сумма равна `\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

5) Найдем значения каждого множителя. `\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}` и `\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}`. Их произведение равно `\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi^2}{12}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

6) Область значений функции арккосинус — это отрезок `[0, \pi]`. Значение `-\frac{\pi}{2}` не принадлежит этому отрезку. Правильное значение: `\arccos 0 = \frac{\pi}{2}`, так как `\cos \frac{\pi}{2} = 0` и `\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]`. Ответ: неверно.

7) Область значений функции арккосинус — это отрезок `[0, \pi]`. Значение `2\pi` не принадлежит этому отрезку. Правильное значение: `\arccos 1 = 0`, так как `\cos 0 = 1` и `0 \in [0, \pi]`. Ответ: неверно.

8) Область определения функции арккосинус — это отрезок `[-1, 1]`. Поскольку `\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14159}{3} \approx 2.094 > 1`, значение `\frac{2\pi}{3}` не входит в область определения, и выражение `\arccos \frac{2\pi}{3}` не имеет смысла. Ответ: неверно.

9) Вычислим значения слагаемых. `\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}` (поскольку `\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}` и `\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]`). `\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}` (поскольку `\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}` и `\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]`). Сумма равна `\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

10) Сначала найдем `\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})`. Это угол `y` из отрезка `[0, \pi]`, для которого `\cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2}`. Используя формулу `\arccos(-x) = \pi - \arccos x`, получаем `\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}`. Теперь возведем это значение в квадрат: `(\frac{5\pi}{6})^2 = \frac{25\pi^2}{36}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

11) Область значений функции арккотангенс — это интервал `(0, \pi)`. Значение `0` не принадлежит этому интервалу. Кроме того, равенство `\operatorname{arcctg} \frac{\pi}{2} = 0` означало бы, что `\operatorname{ctg} 0 = \frac{\pi}{2}`, но `\operatorname{ctg} 0` не определен. Правильным было бы равенство `\operatorname{arcctg} 0 = \frac{\pi}{2}`. Ответ: неверно.

12) Данное равенство является частным случаем тождества `\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}`, которое верно для любого действительного `x`. Проверим прямым вычислением: `\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}` и `\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}`. Их сумма: `\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.