Номер 29.2, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.2. Верно ли равенство:

1) $\arcsin \pi = 0;$

2) $\arcsin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$

3) $\arcsin 1 + \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6};$

4) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2};$

5) $\arcsin 1 \cdot \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi^2}{12};$

6) $\arccos 0 = -\frac{\pi}{2};$

7) $\arccos 1 = 2\pi;$

8) $\arccos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2};$

9) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2};$

10) $\arccos^2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{25\pi^2}{36};$

11) $\operatorname{arcctg} \frac{\pi}{2} = 0;$

12) $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{2}?$

1) Область определения функции арксинус — это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $\pi > 1$, следовательно, значение $\pi$ не входит в область определения $\arcsin(x)$. Таким образом, выражение $\arcsin \pi$ не имеет смысла. Ответ: неверно.

2) Равенство $\arcsin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ было бы верным, если бы $\sin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. Однако, $\sin \frac{1}{2} \approx 0.479$, а $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.523$. Эти значения не равны. Правильное равенство выглядит так: $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. Ответ: неверно.

3) Вычислим каждое слагаемое по отдельности. По определению, $\arcsin 1$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1, то есть $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$. $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из того же промежутка, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$. Сложим полученные значения: $\frac{\pi}{2} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Равенство выполняется. Ответ: верно.

4) Вычислим значения слагаемых. $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ (поскольку $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$). $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ (поскольку $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$). Сумма равна $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Равенство выполняется. Ответ: верно.

5) Найдем значения каждого множителя. $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$ и $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. Их произведение равно $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi^2}{12}$. Равенство выполняется. Ответ: верно.

6) Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Значение $-\frac{\pi}{2}$ не принадлежит этому отрезку. Правильное значение: $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$. Ответ: неверно.

7) Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Значение $2\pi$ не принадлежит этому отрезку. Правильное значение: $\arccos 1 = 0$, так как $\cos 0 = 1$ и $0 \in [0, \pi]$. Ответ: неверно.

8) Область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14159}{3} \approx 2.094 > 1$, значение $\frac{2\pi}{3}$ не входит в область определения, и выражение $\arccos \frac{2\pi}{3}$ не имеет смысла. Ответ: неверно.

9) Вычислим значения слагаемых. $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ (поскольку $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$). $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$ (поскольку $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$). Сумма равна $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Равенство выполняется. Ответ: верно.

10) Сначала найдем $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол $y$ из отрезка $[0, \pi]$, для которого $\cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используя формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$, получаем $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Теперь возведем это значение в квадрат: $(\frac{5\pi}{6})^2 = \frac{25\pi^2}{36}$. Равенство выполняется. Ответ: верно.

11) Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0, \pi)$. Значение $0$ не принадлежит этому интервалу. Кроме того, равенство $\operatorname{arcctg} \frac{\pi}{2} = 0$ означало бы, что $\operatorname{ctg} 0 = \frac{\pi}{2}$, но $\operatorname{ctg} 0$ не определен. Правильным было бы равенство $\operatorname{arcctg} 0 = \frac{\pi}{2}$. Ответ: неверно.

12) Данное равенство является частным случаем тождества $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$, которое верно для любого действительного $x$. Проверим прямым вычислением: $\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$ и $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}$. Их сумма: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Равенство выполняется. Ответ: верно.