Номер 6, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6. Чему равен $\arccos(-x)$? $\arcsin(-x)$? $\arctan(-x)$? $\operatorname{arcctg}(-x)$?

Для нахождения значений обратных тригонометрических функций от отрицательного аргумента используются следующие тождества, которые выводятся из определений и свойств соответствующих тригонометрических функций.

arccos(-x)

Пусть $y = \arccos(-x)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(y) = -x$ и $y \in [0, \pi]$.Рассмотрим выражение $\pi - \arccos(x)$. Пусть $z = \arccos(x)$, тогда $\cos(z) = x$ и $z \in [0, \pi]$.Используя формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем: $\cos(\pi - z) = -\cos(z) = -x$.Поскольку $z \in [0, \pi]$, то и выражение $\pi - z$ также принадлежит промежутку $[0, \pi]$.Таким образом, мы имеем два угла, $y$ и $\pi - z$, из одного и того же промежутка $[0, \pi]$, косинусы которых равны $-x$.В силу того, что функция косинус является монотонно убывающей на промежутке $[0, \pi]$, равенство косинусов влечет за собой равенство углов: $y = \pi - z$.Подставляя обратно выражения для $y$ и $z$, получаем искомое тождество.

Ответ: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, где $x \in [-1, 1]$.

arcsin(-x)

Пусть $y = \arcsin(-x)$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(y) = -x$ и $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Рассмотрим выражение $-\arcsin(x)$. Пусть $z = \arcsin(x)$, тогда $\sin(z) = x$ и $z \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Так как синус — нечетная функция, т.е. $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, то $\sin(-z) = -\sin(z) = -x$.Поскольку $z \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то и $-z$ принадлежит тому же промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Мы получили два угла, $y$ и $-z$, из одного и того же промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синусы которых равны $-x$.В силу того, что функция синус является монотонно возрастающей на этом промежутке, равенство синусов влечет за собой равенство углов: $y = -z$.Подставляя обратно, получаем тождество, которое показывает, что арксинус является нечетной функцией.

Ответ: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$, где $x \in [-1, 1]$.

arctg(-x)

Пусть $y = \operatorname{arctg}(-x)$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg}(y) = -x$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.Рассмотрим выражение $-\operatorname{arctg}(x)$. Пусть $z = \operatorname{arctg}(x)$, тогда $\operatorname{tg}(z) = x$ и $z \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.Так как тангенс — нечетная функция, т.е. $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$, то $\operatorname{tg}(-z) = -\operatorname{tg}(z) = -x$.Поскольку $z \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то и $-z$ принадлежит тому же промежутку $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.Мы имеем два угла, $y$ и $-z$, из одного и того же промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенсы которых равны $-x$.В силу монотонности функции тангенс на этом промежутке, углы должны быть равны: $y = -z$.Подставляя обратно, получаем тождество, которое показывает, что арктангенс является нечетной функцией.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$, где $x \in (-\infty, \infty)$.

arcctg(-x)

Пусть $y = \operatorname{arcctg}(-x)$. По определению арккотангенса, это означает, что $\operatorname{ctg}(y) = -x$ и $y \in (0, \pi)$.Рассмотрим выражение $\pi - \operatorname{arcctg}(x)$. Пусть $z = \operatorname{arcctg}(x)$, тогда $\operatorname{ctg}(z) = x$ и $z \in (0, \pi)$.Используя формулу приведения $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$, получаем: $\operatorname{ctg}(\pi - z) = -\operatorname{ctg}(z) = -x$.Поскольку $z \in (0, \pi)$, то и выражение $\pi - z$ также принадлежит промежутку $(0, \pi)$.Таким образом, мы имеем два угла, $y$ и $\pi - z$, из одного и того же промежутка $(0, \pi)$, котангенсы которых равны $-x$.В силу монотонности функции котангенс на этом промежутке, равенство котангенсов влечет за собой равенство углов: $y = \pi - z$.Подставляя обратно выражения для $y$ и $z$, получаем искомое тождество.

Ответ: $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$, где $x \in (-\infty, \infty)$.