Номер 29.1, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.1. Верно ли равенство:

1) $\arcsin 0 = \pi;$

2) $\arcsin(-1) = \frac{3\pi}{2};$

3) $\arcsin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

4) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = 0;$

5) $\arccos \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{3};$

6) $\arccos \frac{\pi}{2} = 0;$

7) $\arccos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2};$

8) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi;$

9) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi^2}{12};$

10) $\operatorname{arctg}(-1) = \frac{3\pi}{4};$

11) $\operatorname{arctg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3};$

12) $\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \operatorname{arctg}(-1) = \frac{\pi}{12}?$

Равенство неверно. По определению, областью значений функции арксинус является отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Число $\pi$ не принадлежит этому отрезку. Правильное равенство: $\arcsin 0 = 0$, поскольку $\sin 0 = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Областью значений функции арксинус является отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Число $\frac{3\pi}{2}$ не принадлежит этому отрезку. Правильное равенство: $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Аргумент и значение функции перепутаны местами. Область определения функции $\arcsin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, а область значений — $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Правильное равенство — это $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, из которого следует $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$. Выражение же $\arcsin\frac{\pi}{4}$ определено, так как $\frac{\pi}{4} \approx 0.785 \in [-1, 1]$, но его значение не равно $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.

Ответ: неверно.

Равенство верно. Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$.
$\arcsin\frac{1}{2} + \arcsin(-\frac{1}{2}) = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin\frac{1}{2} = 0$.
Либо можно вычислить каждое значение: $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ и $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Их сумма: $\frac{\pi}{6} + (-\frac{\pi}{6}) = 0$.

Ответ: верно.

Равенство неверно. По определению, областью значений функции арккосинус является отрезок $[0; \pi]$. Значение $-\frac{\pi}{3}$ не входит в этот отрезок. Правильное равенство: $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [0; \pi]$.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Областью определения функции арккосинус является отрезок $[-1; 1]$. Аргумент $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ не принадлежит этому отрезку, поэтому выражение $\arccos\frac{\pi}{2}$ не определено.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Областью определения функции арккосинус является отрезок $[-1; 1]$. Аргумент $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ не принадлежит этому отрезку, поэтому выражение $\arccos\frac{\pi}{3}$ не определено. Вероятно, имелось в виду равенство $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: неверно.

Равенство верно. Используем свойство арккосинуса $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = (\pi - \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi$.
Либо можно вычислить значения: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Их сумма: $\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: верно.

Равенство неверно. Вычислим значения в левой части:
$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos\frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
Произведение: $\frac{\pi}{4} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{6}$.
$\frac{\pi^2}{6} \neq -\frac{\pi^2}{12}$. Кроме того, значения арккосинуса всегда неотрицательны, поэтому их произведение не может быть отрицательным.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. По определению, областью значений функции арктангенс является интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Число $\frac{3\pi}{4}$ не принадлежит этому интервалу. Правильное равенство: $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$. (Стоит отметить, что $\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$).

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Аргумент и значение функции перепутаны местами. Правильное равенство: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, из которого следует, что $\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$. Выражение $\operatorname{arctg}\frac{\pi}{6}$ определено, но его значение не равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Вычислим слагаемые в левой части:
$\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$
Сумма: $\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.
Так как $\frac{13\pi}{12} \neq \frac{\pi}{12}$, равенство неверно.

Ответ: неверно.